Oscillating integrals and a generalization

• Applicant: Professor Dr. Claus Hertling
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2005 to 2014
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 16442363

• Final Report Year: 2014

Final Report Abstract

Das Projekt hatte einen allgemeinen Teil über D-Moduln, nicht-kommutative Hodge-Strukturen und Stokes-Strukturen und einen konkreteren Teil über eine Form der Spiegelsymmetrie, die mit Frobenius-Mannigfaltigkeiten, Quanten-D-Moduln, Gauß-Manin-Systemen und GKZ-Systemen arbeitet. Im allgemeinen Teil wurde eine Familie von reinen und polarisierten nichtkommutativen Hodge Strukturen (alias TERP Strukturen) über ihre Stokes-Strukturen konstruiert. Spezialfälle treten bei den Entfaltungen der einfachen und einfach elliptischen Singularitäten auf. Weiter wurden Modulräume von markierten Hyperflächensingularitäten in einer µ-Homotopieklasse konstruiert. Das schafft die Grundlage für weitergehende globale Untersuchungen zu den Stokes-Strukturen bei diesen globalen Familien von (markierten) Hyperflächensingularitäten. Konkrete Resultate dazu gibt es bei den einfachen Singularitäten und den einfach elliptischen Singularitäten. Im konkreteren Teil wurde in einer ersten Arbeit die Spiegelsymmetrie mit torischen schwachen Fano-Mannigfaltigkeiten auf der A-Seite und gewissen Familien von Laurent-Polynomen auf der B-Seite studiert. Aufbauend auf einem Resultat von Givental wurde Spiegelsymmetrie als Isomorphismus von logarithmischen Frobenius-Mannigfaltigkeiten etabliert. Diese Arbeit wurde auch im Bericht zu einem großen französischen Forschungsprojekt als Leuchtturm-Ergebnis lobend herausgestellt. Ursprünglich technische Bausteine zu dieser Arbeit entwickelten eine Eigendynamik und führten zu sehr konkreter Kontrolle von Gauß-Manin Systemen bei den Familien von Laurent-Polynomen via GKZ-Systeme (Gelfand-Kapranov-Zelevinsky). Umgekehrt ließen sich interessante GKZ-Systeme zu gemischten Hodge-Moduln anreichern (Reichelt). In einer zweiten Arbeit wurden diese technischen Fortschritte dann genutzt, um Spiegelsymmetrie auch jenseits der torischen Mannigfaltigkeiten auf eine neue Stufe zu heben. Diese Arbeit gibt den wohl konzeptionellsten und stärksten Zugang zur B-Seite der Spiegelsymmetrie, auf deren A-Seite numerisch effektive vollstandige Durchschnitte in torischen Mannigfaltigkeiten liegen. Die Daten auf der B-Seite werden nicht-affine Landau-Ginzburg Modelle genannt. Ihre Konstruktion involviert partielle (nicht-affine) Kompaktifizierungen affiner Varietäten und D-Moduln, die Verfeinerungen von Gauß-Manin Systemen sind und deren Konstruktion Schnittkohomologie benutzt. Mit GKZ-Systemen als Bindeglied von A-Seite und B-Seite erhalt man eine starke Form von Spiegelsymmetrie.

Publications

• Examples of noncommutative Hodge structures. Journal of the Inst. of Math. Jussieu 10.3 (2011), 635–674
  Claus Hertling, Claude Sabbah
  
• µ-constant monodromy groups and marked singularities. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 61.7 (2011), 2643– 2680
  Claus Hertling
  
• A comparison theorem between Radon and Fourier-Laplace transforms for D-modules
  Thomas Reichelt
  
• Laurent Polynomials, GKZ- hypergeometric systems and mixed Hodge modules. Compositio Mathematica
  Thomas Reichelt
  
• Non-affine Landau-Ginzburg models and intersection cohomology
  Thomas Reichelt, Christian Sevenheck
  
• Logarithmic Frobenius manifolds, hypergeometric systems and quantum D- modules. J. Algebraic Geometry, 2014
  Thomas Reichelt, Christian Sevenheck