Anisotrope Gitteranpassung mit Hilfe von a posteriori Fehlerabschätzungen. Anwendungen auf die Finite-Elemente-Methode

• Applicant: Dr. Lennard Kamenski
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 164566453

• Final Report Year: 2012

Final Report Abstract

Die in der Vorarbeit zum Projekt vorgestellte Methode zur anisotropen Gitteranbpassung mit a posteriori Fehlerschätzer erwies sich als sehr robust und vollkommen vergleichbar auch bei der Anwendung auf allgemeine Variationsprobleme mit anderen Verfahren, die auf der Approximation der Hessematrix basieren. Bei betrachteten Beispiele, bei denen optimalen Gitter bekannt sind, liefert die Methode auch tatsächlich optimale Gitter. Der wichtigste theoretische Fortschritt dieses Projekts ist aber die neue Abschätzung der extremen Eigenwerte und der Kondition der Galerkin Masse- und Steifigkeitsmatrix sowie die Abschätzung der Auswirkung einer Diagonal-Vorkonditionierung. Nach meinem besten Wissen gab es bis jetzt keine vergleichbaren Resultate. Es handelt sich nicht nur um eine Verbesserung der bestehender Resultate, sondern um eine grundsätzlich neue Qualitätsstufe: die neuen Abschätzungen der extremen Eigenwerte wurden ohne jegliche Voraussetzung an das Gitter oder Gittertopologie hergeleitet. Darüber hinaus sind nicht nur viel genauer als die bisher vorhandenen sondern auch scharf von beiden Seiten für beliebige Gitter (bis auf die Abschätzung von λmin (A)). Da sich die meisten existierenden Resultate in der Literatur als eine direkte Folgerung der neuen Resultate herleiten lassen, sind die neuen Abschätzungen eine Verallgemeinerung der vorhandenen. Eine überraschende Folgerung für praktische adaptive Finite-Elemente-Verfahren ist die Feststellung, dass die Anisotropie des Gitters nicht zu einer nennenswerten Verschlechterung der Kondition führt, solange die Anisotropie des Gitters lokal ist (wie z. B. bei einer gezielten lokalen anisotropen Anpassung) und das System passend skaliert ist.

Publications

• Conditioning of finite elements equations with arbitrary anisotropic meshes, Math. Comp.
  L. Kamenski, W. Huang und H. Xu
  
• Anisotropic mesh adaptation for variational problems using error estimation based on hierarchical bases, Canad. Appl. Math. Q. 17 (3) (2009), S. 501–522
  W. Huang, L. Kamenski und X. Li
  
• A study on using hierarchical basis error estimates in anisotropic mesh adaptation for the finite element method, Proceedings of the 19th International Meshing Roundtable (2010), S. 297–314
  L. Kamenski
  
• A study on using hierarchical basis error estimates in anisotropic mesh adaptation for the finite element method, Eng. Comput. (OnlineFirst) (2011), S. 1–10
  Kamenski, Lennard
  
• Adaptive finite elements with anisotropic meshes, ENUMATH 2011 Proceedings
  W. Huang, L. Kamenski und J. Lang