Analyse von räumlichen Kontaktproblemen mit Finiten Elementen hoher Ordnung

• Antragsteller: Professor Dr. Ernst Rank
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 16584683

• Erstellungsjahr: 2009

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Ziel dieses Projekts ist es, finite Elemente hoher Ordnung für Kontaktprobleme zu entwickeln. Die Untersuchungen im ersten Förderabschnitt konzentrierten sich dabei auf grundsätzliche Fragen der strukturmechanischen Formulierung, der effizienten Implementierung und der Untersuchung der Genauigkeit für verschiedene Varianten der Netz- und Polynomgradadaption in zwei Raumdimensionen. Aufbauend auf in der Vergangenheit durchgeführten Forschungsarbeiten über elasto-plastische Probleme mit Ansätzen hoher Ordnung stand zunächst auch für Fragestellungen der Kontaktmechanik ein rp-Ansatz im Vordergrund. Kernidee dieses Ansatzes ist es, Genauigkeitverluste und eine Reduktion der Konvergenzordnung aufgrund der verringerte Regularität der Lösung am Kontaktende durch die Platzierung eines FE-Knotens an diesem Punkt zu beheben. Diese Repositionierung muss allerdings iterativ erfolgen, wobei beobachtet werden kann, dass die Zahl der notwendigen Iterationen sowohl bei einer Erhöhung des Polynomgrads als auch bei einer Verfeinerung des Netzes sinkt. Alternativ zur rp-Methode wurde eine hp-Methode untersucht, bei der am Ende des Kontaktbereichs keine Netzverschiebung sondern eine Netzverfeinerung durchgeführt wird. Es stellte sich heraus, dass mit erheblich weniger numerischem Aufwand eine ähnliche Genauigkeit wie bei Verwendung der rp-Methode erzielt werden kann. Die grundlegenden Untersuchungen wurden zunächst für unilateralen, reibfreien Kontakt durchgeführt und anschließend auf bilateralen reibfreien Kontakt übertragen. Im Falle des reibungsbehafteten Kontaktes tritt an der Grenze von der Haft- zur Gleitreibung ein weiterer Punkt mit reduzierter Regularität auf. Auch an diesem Punkt kann durch Erhöhung des Polynomgrads in Verbindung mit einer Repositionierung (rp-Methode) oder Netzverfeinerung (hp-Methode) die Genauigkeit entscheidend verbessert werden. Insgesamt lässta sich feststellen, dass sowohl mit der hp- als auch der rp-Methode der FEM auch für Kontaktprobleme eine Genauigkeit und (auf die notwendige Rechenzeit bezogene) Effizienz erzielt werden kann, die mit herkömmlichen Verfahren niedriger Ordnung kaum erreichbar ist. Es konnte auch gezeigt werden, dass bereits bei relativ niedrigen Polynomgraden (p=2 bis p=4) erhebliche Verbesserungen gegenüber der klassischen h-Version mit Polynomgrad p=1 erzielt werden kann. Dieses Ergebnis ist für eine praktische Anwendung der hier erarbeiteten Forschungsergebnisse deshalb von besonderer Bedeutung, weil die meisten kommerziellen FE-Programme und ebenfalls ein Großteil der Forschungscodes kaum Polynomgrade größer als p=3 zur Verfügung stellt. In einem Fortsetzungsprojekt sollen die gewonnenen Erkenntnisse auf drei Raumdimensionen ubertragen und damit einer praktischen Anwendung nähergebracht werden. Auch hier soll die Auswirkung der reduzierte Regularität am Ende des Kontaktbereichs (dies sind nun Kurven auf der Oberfläche der Körper) durch Anwendung insbesondere eines hpadaptiven Verfahrens begrenzt werden. Besondere Bedeutung kommt dabei einer effizienten Netzgenerierung zu, die in der Lage sein muß, räumliche Strukturen in der Umgebung von Kurven auf der Oberfläche zu verfeinern. Der Fokus der Untersuchungen soll dabei auf der Verwendung von moderaten Polynomgraden (p=2 bis p=4) liegen. Dadurch soll sichergestellt werden, dass die Ergebnisse dieser Arbeit auch für Forschergruppen nutzbar sind, denen kein Code mit sehr hohen Polynomgraden zur Verfügung steht.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• High order finite elements for mechanical contact problems. 2nd GACM Colloquium on Computational Mechanics, München, 2007
  D. Franke, A. Düster, E. Rank
  
• The rp-version of the FEM for computational contact mechanics. 79th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Bremen 2008
  D. Franke, A. Düster, E. Rank
  
• Comparison of the h-, p-, hp- and rp-version of the FEM for 2D contact simulation. 3rd GACM Colloquium on Computational Mechanics, Hannover, 2009
  D. Franke, A. Düster, E. Rank
  
• Numerical investigation of different finite element methods for the Hertzian contact problem in 2D. An ECCOMAS Thematic Conference on 1st International Conference on Computational Contact Mechanics (ICCCM), Lecce, Italien 2009
  D. Franke, A. Düster, E. Rank