Dictionary Learning für die nichtlineare Approximation sphärischer Funktionen

• Antragsteller: Professor Dr. Volker Michel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 169129297

In dem bisherigen Projekt wurde ein Algorithmus namens ROFMP entwickelt, der schlecht gestellte inverse Probleme (insbesondere auf der Sphäre) regularisieren kann. Hierbei werden aus einem vorgegebenen so genannten Dictionary von Ansatzfunktionen jene Funktionen iterativ ausgewählt, die zusammen eine Art "beste Basis" für das vorliegende inverse Problem bilden. Der ROFMP ist daher ein Beispiel eines Greedy-Algorithmus. Durch den ROFMP können die Vorteile verschiedener Typen von Ansatzfunktionen miteinander kombiniert werden. Dies ermöglicht beispielsweise die Behandlung von extrem unregelmäßigen Datengittern und eine Konstruktion einer Multiskalen-Analyse der Lösung. Ferner kann durch den ROFMP, im Vergleich beispielsweise zu einem Spline-Verfahren, die Lösung mit deutlich weniger Ansatzfunktionen mindestens genauso gut dargestellt werden. Anwendungen treten u.a. bei der Behandlung von Satellitendaten des Gravitationsfelds auf, welches eine wichtige Referenzgröße der Erde ist.Bisher wurde das Dictionary der zur Verfügung stehenden Ansatzfunktionen a priori aufgrund von Erfahrungswerten gewählt. In dem Fortsetzungsprojekt soll ein Verfahren entwickelt werden, das die Wahl des Dictionarys automatisiert. Für verwandte Greedy-Algorithmen, wie sie vorwiegend in der Bildverarbeitung verwendet werden, existieren derartige Techniken, die unter dem Begriff Dictionary Learning subsummiert werden. Jedoch geht die überwiegende Mehrheit dieser Verfahren von diskretisierten Funktionen aus, so dass das Dictionary lediglich als Matrix dargestellt wird und die Verfahren auf Techniken der Numerischen Linearen Algebra zurückgreifen.Solche Ansätze machen für die ins Auge gefassten inversen Probleme keinen Sinn, da die verwendeten Ansatzfunktionen meist eine physikalische Bedeutung haben. Das Erhalten der Funktionen in der Darstellung der Lösung ermöglicht daher den Anwendern eine bessere Interpretierbarkeit des Resultats. Ferner sind die zu lösenden Probleme durch typische Gleichungen der Analysis wie Integralgleichungen gegeben. Eine Diskretisierung würde somit bereits von Anfang an eine Ungenauigkeit in die Berechnungen bringen.Der Algorithmus erfordert also konzeptionelle Neuarbeit. Er soll aus zwei Ebenen bestehen, die berücksichtigen, dass die verfügbaren Ansatzfunktionen in einzelne Typen untergliedert werden können. Die obere Ebene des Algorithmus entscheidet, welche Typen für das konkrete Problem hilfreich sind. Auf der unteren Ebene werden Teilalgorithmen entwickelt, die für die einzelnen Typen eine optimale Auswahl treffen. Dies kann über Typ-spezifische Parameter gesteuert werden. Für die Umsetzung sollen Optimierungsverfahren mit erfahrungsbasierten Heuristiken kombiniert werden. Ein Ziel des Projekts ist es, für ein typisches Anwendungsszenario, wie die Analyse von klimabedingten Gravitationsfeldänderungen, ein "optimales" Anfangsdictionary zur Verfügung zu stellen, das von Anwendern leicht benutzt werden kann.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen