Existenz, Stabilität und Interaktion lokalisierter Strukturen

• Antragstellerin: Dr. Martina Chirilus-Bruckner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2012
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 174856282

• Erstellungsjahr: 2013

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Während des Förderungszeitraums wurden verschiedene Projekte in Kooperation mit einer Vielzahl von Wissenschaftlern bearbeitet. Im Vordergrund standen dabei mehrere Themenkomplexe, wobei sich eine weitere Forschungsrichtung - die der Gittergleichungen - als fruchtbar erwies. Die Existenz von sogenannten "breather"-Lösungen für nichtlineare Wellengleichungen mit periodischen Koeffizienten wurde für eine spezielle Konstruktion von Treppen-Funktions-Koeffizienten gezeigt. Dieses Ergebnis ist überraschend, da solche Lösungen für nichtlineare Wellengleichungen eine Rarität darstellen. Darüber hinaus konnte durch die Anwendung von inverser Spektraltheorie für gewichtete Sturm-Liouville-Operatoren gezeigt werden, dass Voraussetzungen für die Konstruktion tatsächlich für eine Klasse von Koeffizienten erfüllt sind und "breather"-Lösungen keine Seltenheit darstellen. Abgesehen vom Beitrag dieser Arbeiten zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen und inverser Spektraltheorie, könnten die Ergebnisse auch in der nichtlinearen Optik und Photonik Anwendung finden, da Modellgleichungen und Lösungen durch das Problem der Erzeugung von stehendem Licht inspiriert sind. Die Herleitung und Validierung von Modulationsgleichungen war ein weiteres zentrales Thema. Insbesondere die Erweiterung dieser Methode für diskrete Systeme und quasilineare Gleichungen wurde untersucht. Durch die Einschränkung auf eine bestimmte Klasse von Funktionen wurde eine neue Art der Fehlerabschätzung entwickelt. Es ist zu erwarten, dass sich die Methode auf eine Vielzahl anderer Gleichungen ausweiten lässt. Es wurde die Existenz von stehenden und sich uniform ausbreitenden Fronten mittels geometrischer singulärer Störungstheorie gezeigt. Die Stabilität dieser Fronten wurde durch die Konstruktion einer Evans-Funktion untersucht, um dann in einem letzten Schritt durch eine Zentrumsmannigfaltigkeiten-Reduktion die generelle Dynamik von Fronten, die aus stehenden Fronten bifurkieren, zu beschreiben. Dabei kam eine unerwartet komplexe Bifurkationsstruktur zum Vorschein, insbesondere das gleichzeitige Auftreten eines Bogdanov-Takens-Bifurkationsscenarios und einer Schmetterlingskatastrophe. Über diese Projekte hinaus wurden weitere Themengebiete untersucht, aus denen weitere Ergebnisse zu erwarten sind. Das generelle Projektziel, eine "mögliche Vereinheitlichung von Theorien und den Fluss verschiedener Methoden über die Grenzen von Gleichungsklassen hinweg" zu erreichen, wurde erfolgreich umgesetzt, und wird auch in Zukunft eine wichtige Leitlinie bleiben.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• “Breather solutions in periodic media” Comm. Math. Phys. 302 (3) p. 815-841 (2011)
  Carsten Blank, Martina Chirilus-Bruckner, Vincent Lescarret, Guido Schneider
  
• “Detection of standing pulses in periodic media by pulse interaction” J. Diff. Eq. 253 (7) p. 2161-2190 (2012)
  Martina Chirilus-Bruckner, Guido Schneider.
  
• “Rigorous description of macroscopic wave packets in infinite periodic chains of coupled oscillators by modulation equations” Disc. Cont. Dyn. Sys. 5 (5) p. 879-901 (2012)
  Martina Chirilus-Bruckner, Christopher Chong, Oskar Prill, Guido Schneider