A-posteriori-POD-Fehlerschätzer für nichtlineare Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In dem Projekt wurden Optimierungsprobleme für Anwendungen betrachtet, die sich durch mathematische Modelle mit Differentialgleichungen beschreiben lassen. Dabei genügen einige Optimierungsvariablen, in der Regel auch Ungleichungsbeschränkungen in der Form unterer und oberer Schranken. Diese Probleme werden "Optimalsteuerprobleme" genannt. Bei der numerischen Lösung dieser Aufgaben entstehen rechentechnisch sehr aufwändige Probleme. Aus diesem Grund werden Methoden zur Modellreduktion entwickelt. Diese Methoden führen zu einer Vereinfachung des Problems, so dass es möglich ist, die gestellten Optimierungsprobleme in wesentlich kürzerer Rechenzeit beziehungsweise überhaupt zu lösen. Die Vereinfachung durch die Modellreduktion führt allerdings auch zu Fehlern in der berechneten Lösung, die es zu kontrollieren gilt, um Genauigkeitsforderungen aus den Anwendungen gerecht zu werden. In dem Projekt wird Proper Orthogonal Decomposition (POD) für die Modellreduktion eingesetzt. In dem Projekt wurde sich mit Fehlerabschätzungen für die POD-Modellreduktion bei unterschiedlichen Optimalsteuerproblemen beschäftigt. Alle diese Probleme enthalten nichtlineare Zusammenhänge in ihrer Formulierung, was - im Gegensatz zu linearen Zusammenhängen - die mathematische Analysis sowie die effiziente numerische Realisierung deutlich erschwert. Die Fehlerabschätzungen werden a-posteriori genannt, da der Fehler zur exakten (unbekannten) Lösung unter Verwendung der POD-Lösung abgeschätzt werden kann. Es wurden mehrere erfolgreiche Arbeiten erzielt: 1) Abschätzungen für nichtlineare Differentialgleichungen, 2) Abschätzungen für Probleme mit Ungleichungsbeschränkungen, 3) Numerische Konvergenzuntersuchung, 4) Herstellung einer Verbindung zwischen A-Posteriori-Fehleranalysis und Anpassung der POD-Modellreduktion.
