Project Details
Projekt
A-posteriori-POD-Fehlerschätzer für nichtlineare Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen
Subject Area
Mathematics
Term
from 2010 to 2014
Project identifier
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 177830628
Thema dieses Antrags sind A-posteriori-Fehlerschätzer für optimale Lösungen von Steuerungsproblemen bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, die mit der Methode POD (Proper Orthogonal Decomposition) zur Modellreduktion behandelt worden sind. Infolge der Nichtlinearität sind mit einer A-priori-Fehleranalysis ausgerüstete Techniken wie Balanced Truncation auf absehbare Zeit nicht einsetzbar. Den Antragstellern ist es gelungen, für lineare partielle Differentialgleichungen den Abstand einer auf der Basis von POD berechneten suboptimalen Steuerung zur unbekannten optimalen Steuerung a-posteriori recht genau abzuschätzen und darauf aufbauend die Anzahl der verwendeten POD Basisfunktionen anzupassen. Diese Technik eignet sich auch für parabolische Gleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten, die z.B. für Balanced Truncation noch nicht zugänglich sind. Das Hauptziel dieses Antrags ist die Übertragung dieser Grundidee auf den nichtlinearen Fall. Das ist aus verschiedenen, im Antrag erläuterten Gründen kompliziert. Außerdem sollen die Fehlerschätzer den aus der numerischen Approximation der Zustandsgleichung mit finiten Elementen bzw. finiten Differenzen resultierenden Fehler berücksichtigen, was auch im linearen Fall bisher noch nicht analysiert wurde. Nichtlineare (auch modellreduzierte) Optimalsteuerungsprobleme werden in der Regel iterativ durch eine Folge linear-quadratischer Probleme gelöst. Deshalb soll ferner die Kopplung des Iterationsverfahrens mit dem für lineare zeitvariante Aufgaben bereits vorliegenden A-posteriori-Fehlerschätzer untersucht werden. Die vorgeschlagenen Techniken sind unter einem Optimierungsaspekt zu sehen und dienen zur Schätzung des Abstands berechneter suboptimaler Steuerungen zu lokal optimalen. Sie haben keine Fehleranalysis der reduzierten Gleichung für alle denkbaren Steuerungen zum Ziel. Andererseits sind sie nicht auf Modellreduktion beschränkt, sondern sollen sich zur Bewertung berechneter optimaler Steuerungen eignen, unabhängig von der angewendeten Methode. Die Approximationseigenschaften der POD-Basis können dadurch verbessert werden, dass Information der aktuellen Steuerung in jeder Iteration des verwendeten Optimierungsverfahrens in die Berechnung der POD-Basis einfließt. Hierzu sollen Strategien aus [KV08] oder aus [AH01, AFS00, BCB07] genutzt werden.
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