Elliptische und parabolische Hindernis-Probleme mit irregulären Hindernissen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt wurden elliptische und parabolische Hindernis-Probleme für partielle Differentialoperatoren in Divergenzform vom p-Laplace Typ betrachtet. Dabei wurden unter anderem folgende Problemstellungen gelöst: (i) Entwicklung einer Calderón & Zygmund-Theorie für Lösungen elliptischer und parabolischer Hindernis-Probleme; (ii) Entwicklung einer Existenz und Calderón & Zygmund-Theorie für parabolische Hindernis-Probleme mit nicht-standard p(x; t)-Wachstum; (iii) Punktweise Potential-Abschätzungen der Lösungen in Termen des Hindernisses. Es wurden Calderón & Zygmund Abschätzungen für den räumlichen Gradienten der Lösung in Termen der Integrabilität des Hindernisses bewiesen. Genauer wurde gezeigt, dass der Gradient der Lösung genauso gut integrierbar ist wie die das Hindernis beschreibende Funktion. In diesem Zusammenhang gelang es auch, ein neues Lösungskonzept (sog. Lokalisierbare Lösungen) einzuführen und ein entsprechendes Existenzresultat zu beweisen. Der Vorteil des Konzeptes liegt darin, dass es sich (im Gegensatz zum klassischen Lösungsbegriff) um ein lokales Konzept von Lösungen handelt, dass Lokalisierungsargumente analog zu parabolischen Differentialgleichungen zulässt. Erwähnen muss man, dass dieses Konzept unter milden Voraussetzungen an den Rand des betrachteten Gebietes mit allen klassischen Konzepten übereinstimmt. In diesem Zusammenhang gelang es, das entwickelte Konzept der lokalisierbaren Lösungen auf Operatoren mit nicht-standard Wachstum zu übertragen und einen Existenzsatz zu beweisen. Darüber hinaus konnten zwei Regularitätsresultate für parabolische Hindernisprobleme mit nicht-standard p(x; t)-Wachstum etabliert werden. Insbesondere wurden Lokalisierungsmethoden entwickelt, die es nun erlauben, Regularitätsprobleme mit nicht-standard p(x; t)-Wachstum auch im parabolischen Fall zu behandeln. Es gelang, die klassischen Potentialabschätzungen der Poisson-Gleichung auf zeitunabhängige und zeitabhängige nicht-lineare Hindernisprobleme zu verallgemeinern. Dabei handelt es sich um punktweise Abschätzungen der Lösung bzw. ihres Gradienten in Termen von Riesz-Potentialen der rechten Seite und des Hindernisses. Im Verlauf der Projektbearbeitung ergaben sich zwei weitere interessante Themenkomplexe: (i) Hölder-Stetigkeit des Gradienten für parabolische Hindernisprobleme vom p-Laplace Typ; (ii) Existenztheorie für Hindernisprobleme der porösen Medien Gleichung. Es wurde bewiesen, dass unter geeigneten Voraussetzungen an das Hindernis der Ortsgradient der Lösung Hölder stetig ist. Dies war zuvor nur im Fall p = 2 (d.h. lineares Wachstum der Koeffizienten) bekannt. Dabei handelt es sich um das erste Existenzresultat für das Hindernisproblem zur porösen Medien Gleichung für möglicherweise unbeschränkte Hindernisse. An das Existenzresultat schließen sich nun Fragen nach der Regularität von Lösungen an sowie Anwendungen in der Potentialtheorie.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Existence and Gradient Estimates in Nonlinear Problems with Irregular Obstacles. Habilitationsschrift, 2011
C. Scheven
- Higher integrability for parabolic systems with non-standard
growth and degenerate diffusions. Publicacions Matemàtiques, Vol. 55. 2011, Number 1, pp. 201-250.
V. Bögelein and F. Duzaar
- Elliptic obstacle problems with measure data: Potentials and low order regularity. Publicacions Matemàtiques, Vol. 56. 2012, Number 2, pp. 327-374.
C. Scheven
- Gradient potential estimates in non-linear elliptic obstacle problems with measure data. Journal of Functional Analysis, Vol. 262. 2012, Issue 6, pp. 2777–2832.
C. Scheven
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2012.01.003) - Higher integrability in parabolic obstacle problems. Forum Mathematicum, Bd. 24.2012, Heft 5, S. 931–972.
V. Bögelein, C. Scheven
(Siehe online unter https://doi.org/10.1515/FORM.2011.091) - Potential estimates in parabolic obstacle problems. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica, Vol. 37. 2012, pp. 415–443.
C. Scheven
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.5186/aasfm.2012.3730) - Calderón-Zygmund theory for parabolic obstacle problems with nonstandard growth. Advances in Nonlinear Analysis, Bd. 3.2014, Heft 1, S. 15–44.
A. Erhardt
(Siehe online unter https://doi.org/10.1515/anona-2013-0024) - Existence and Gradient Estimates in Parabolic Obstacle Problems with Nonstandard Growth. Dissertationsschrift, 2013
A. Erhardt
- Existence of solutions to parabolic problems with nonstandard growth and irregular obstacles, 2013
A. Erhardt
- Higher integrability for solutions to parabolic problems with irregular obstacles and nonstandard growth, 2013
A. Erhardt
- Calderön-Zygmund estimates for parabolic p(x,t)-Laplacian systems. Revista Matemática Iberoamericana, Vol. 30. 2014, Issue 4, pp. 1355–1386.
P. Baroni, V. Bögelein
(Siehe online unter https://doi.org/10.4171/RMI/817) - Existence of localizable solutions to nonlinear parabolic problems with irregular obstacles. Manuscripta Mathematica, Vol. 146. 2015, Issue 1, pp 7-63.
C. Scheven
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1007/s00229-014-0684-8) - Hölder estimates for parabolic obstacle problems. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -), Vol. 194. 2015, Issue 3, pp 645-671.
A. Erhardt
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10231-013-0392-0) - The obstacle problem for the porous medium equation.
Mathematische Annalen, Vol. 363. 2015, Issue 1, pp 455-499.
V. Bögelein, T. Lukkari, C. Scheven
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1007/s00208-015-1174-3)
