Rationale Iterationsverfahren für instationäre oszillatorische Differentialgleichungen

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Volker Grimm
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 179876882

• Erstellungsjahr: 2015

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In diesem Projekt wurden Methoden der numerischen linearen Algebra entwickelt, analysiert und getestet, welche die effiziente Berechnung von Operator- bzw. Matrixfunktionen in exponentiellen Integratoren zur Zeitintegration instationärer oszillatorischer Differentialgleichungen erlauben. Für allgemeine Operatoren, die Evolutionshalbgruppen erzeugen, konnten Konvergenzresultate in rationalen Krylovräumen bewiesen und numerisch illustriert werden. In dieser Allgemeinheit sind die erzielten Resultate neu. Bei der Analyse hat sich herausgestellt, dass die entwickelten Verfahren auf eine größere, sehr allgemeine Klasse von Operator- bzw. Matrixfunktionen angewendet werden können. Die verwendeten Methoden besitzen also eine breitere Anwendbarkeit als ursprünglich angestrebt. Für die Approximation von Operator- bzw. Matrixfunktionen in der Zeitintegration konnten Konvergenzresultate für beliebige Anfangswerte gezeigt werden. Darüber hinaus wurde bewiesen, dass abhängig von der Glattheit des Anfangswertes, der auf natürliche Weise bei der Analyse von Evolutionsgleichungen eine wichtige Rolle spielt, rationale Krylov-Verfahren deutlich schneller konvergieren. Auch diese Ergebnisse sind vollständig neu. Überraschend war, welche große Bedeutung die vorgenommene Analyse im Operatorfall für die Anwendungen der Verfahren auf den diskretisierten Fall hat. Die Matrizen, welche die diskretisierten Operatoren beschreiben, haben bei feinerem Gitter immer größere Normen. Effiziente Verfahren müssen daher unabhängig von dieser Norm konvergieren. Analog zur Situation von gewöhnlichen Differenzialgleichungen, bei der einer der wichtigsten Fortschritte war, zu erkennen, dass implizite Verfahren bei steifen Systemen effektiver sind als explizite Verfahren, sind in diesem Sinne die vorgestellten rationalen Krylov-Verfahren im Gegensatz zur Standard-Krylov-Approximation für steife Probleme wesentlich besser geeignet. Sie sind trotz der Notwendigkeit, lineare Gleichungssysteme im Verfahren lösen zu müssen, sehr viel effizienter für Systeme mit steifen Matrizen - ein Terminus, der im Rahmen des Projektes geprägt wurde für Matrizen mit einem beliebig großen Wertebereich in der linken komplexen Halbebene. Die erreichten Resultate lassen sich jetzt kurz und knapp so formulieren, dass die im Projekt untersuchten rationalen Krylov-Verfahren den Standard-Verfahren deutlich überlegen sind, wenn Matrixfunktionen für steife Matrizen berechnet werden müssen. Insgesamt sind die gewonnenen Resultate für die schnelle und effiziente Berechnung von Operator- wie Matrixfunktionen von entscheidender Bedeutung.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Resolvent Krylov subspace approximation to operator functions, BIT Numerical Mathematics 52(3):639–659, 2012
  Volker Grimm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10543-011-0367-8)
• Convergence analysis of an extended Krylov subspace method for the approximation of operator functions in exponential integrators, SIAM J. Numer. Anal. 51(4):2189–2213, 2013
  Tanja Göckler and Volker Grimm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/12089226X)
• Rational Krylov subspace methods for ϕ-functions in exponential integrators, PhD thesis, Department of Mathematics, Karlsruhe Institute of Technology (KIT), 2014
  Tanja Göckler
  
• Uniform approximation of ϕ-functions in exponential integrators by a rational Krylov subspace method with simple poles, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 35(4):1467–1489, 2014
  Tanja Göckler and Volker Grimm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/140964655)
• A convergence analysis for the shift-and-invert Krylov subspace method. Preprint für: Journal of Computational and Applied Mathematics, December 14, 2015 (24 S.)
  Tanja Göckler
  
• Acceleration of contour integration techniques by rational Krylov subspace methods. Journal of Computational and Applied Mathematics Volume 316, 15 May 2017, Pages 133-142
  Tanja Göckler and Volker Grimm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.08.040)
• Automatic smoothness detection of the resolvent Krylov subspace method for the approximation of C0-semigroups. SIAM J. Numer. Anal., 55(3), 1483–1504. (22 pages) 2017
  Volker Grimm and Tanja Göckler
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/15M104880X)