Mathematische Theorie direkter und inverser transienter Wirbelstromprobleme
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Transiente (z. B. gepulste) Ströme erzeugen elektromagnetische Felder, die wiederum elektrische Ströme in leitfähigen Objekten induzieren. Mathematisch wird dies durch partielle Differentialgleichungen, die Wirbelstromgleichungen, beschrieben, die aus den Maxwell-Gleichungen durch Vernachlässigung der dielektrischen Verschiebungsströme hervorgehen. Die Wirbelstromgleichungen sind parabolisch-elliptisch: In isolierenden Bereichen passt sich das Feld instantan an äußere Anregungen an (quasistationares, elliptisches Verhalten), in elektrischen Leitern benötigt diese Anpassung dagegen eine gewisse Zeit (parabolisches Verhalten). Wirbelstromphänomene werden zur Detektion elektrisch leitender Objekte (etwa bei der Suche nach Landminen) und für die zerstörungsfreie Prufung leitfähiger Objekte (sogenannte Wirbelstromprüfung) verwendet. Mathematisch führt dies auf das inverse Problem, den Leitfähigkeitskoeffizienten in den Wirbelstromgleichungen aus (teilweiser) Kenntnis einer oder mehrerer Lösungen zu bestimmen. Im beantragten Projekt wurde eine vereinheitlichte variationelle Theorie für die parabolisch-elliptischen Gleichungen entwickelt. Die größte Herausforderung war dabei, dass die naive Eichung der naheliegenden Variationsformulierung zwar eine mathematisch elegante und vergleichsweise einfache Lösungstheorie ermöglicht, hierdurch jedoch die Äquivalenz zum physikalisch relevanten Problem verloren geht. Es gelang, eine äquivalente und gleichzeitig die Lösungstheorie ermöglichende variationelle Theorie zu entwickeln. Auf Grundlage dieser neuen Theorie konnte die Sensitivität des elektromagnetischen Feldes von Änderungen in Form und Position eines leitfähigen Objektes charakterisiert und eine theoretisch fundierte Rekonstruktionsstrategie zur Identifikation leitfähiger Objekte aus elektromagnetischen Messungen entwickelt werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A unified variational formulation for the parabolic-elliptic eddy current equations, SIAM J. Appl. Math 72, 558– 576, 2012
L. Arnold, B. Harrach
(Siehe online unter https://doi.org/10.1137/110831477) - Justification of regularizations for the parabolic-elliptic eddy current equation, In: IPDO 2013: 4th Inverse problems, design and optimization symposium, 2013 June 26-28, Albi, ed. by O. Fudym, J.-L. Battaglia, G.S. Dulikravich et al., Albi; Ecole des Mines d’Albi-Carmaux, 2013
L. Arnold, B. Harrach
- Unique shape detection in transient eddy current problems, Inverse Problems 29, 095004 (19pp), 2013
L. Arnold, B. Harrach
(Siehe online unter https://doi.org/10.1088/0266-5611/29/9/095004)
