Zerlegung und Komposition algebraischer Strukturen - eine relationale Strukturtheorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel des geförderten Projektes war die Entwicklung der sogenannten relationalen Strukturtheorie (RST). Mit ihr lassen sich Algebren, also Strukturen bestehend aus einer Menge mit endlichstelligen Funktionen, in kleinere Bestandteile zerlegen und untersuchen. Die wichtigste Methode dabei ist die Übersetzung in relationale Strukturen, deren induzierte Unterstrukturen in der RST betrachtet werden („Lokalisierung“). Gleichzeitig behandelt die RST auch die Rekonstruktion der algebraischen Strukturen aus ihren Lokalisierungen („Globalisierung“). Ursprünglich war dies nur für endliche Algebren möglich (und geplant). Die große Überraschung bei diesem Forschungsprojekt war, dass die RST durch neue Ansätze und Konzepte auch für unendliche Algebren sowie topologische Algebren entwickelt werden kann. Die im Antrag genannten Problembereiche (Entwicklung der Theorie, Untersuchung von Beispielklassen, Anwendungen) konnten sehr erfolgreich bearbeitet werden, wobei sich einige Modifikationen erforderlich machten. Dies betrifft sowohl die Erweiterung der Aufgabenstellungen (z. B. unendliche Algebren oder die Untersuchung kategorieller Äquivalenzen) als auch die Feststellung von Sackgassen (z. B. bei Contraint Satisfaction Problemen). Die wichtigsten Ziele wurden erreicht. Für die oben erwähnten Zerlegungen (Lokalisierungen) konnte darüber hinaus durch eine Optimalitätsbedingung in bestimmtem Sinne Eindeutigkeit erzielt werden. Dies ermöglichte ferner eine praktische Bestimmung solcher Zerlegungen, wozu auch entsprechende Algorithmen entwickelt (und implementiert) wurden. Das Projekt hat mit der Relationalen Strukturtheorie eine neue Forschungslinie innerhalb der Allgemeinen Algebra auf den Weg gebracht. Es liefert die Grundlage für vielversprechende weitere Forschungen wie zum Beispiel Anwendungen zur Charakterisierung und Untersuchung kategorieller Äquivalenzen oder die Möglichkeit, mathematische Strukturen auch außerhalb der Algebra durch Lokalisierungen (einer entsprechenden RST) erfassen zu können.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A note on clones with nullary operations. How clones should be, Tech. Report MATH-AL-11-2011, TU Dresden, Institut für Algebra, Technische Universität Dresden, 01062 Dresden, Dezember 2011
Mike Behrisch
- A relational localisation theory for topological algebras, Doktorarbeit, TU Dresden, Mai 2012
Friedrich Martin Schneider
- Irreducible subalgebra primal algebras, Order 29 (2012), no. 2, 231–244
Mike Behrisch
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s11083-011-9220-6) - Relational Structure Theory. A localisation theory for algebraic structures, Doktorarbeit, TU Dresden, Juli 2013
Mike Behrisch
