Entwicklung von lokalisierenden Spline- und Wavelet-Verfahren zur kombinierten Bestimmung des Erdinneren aus Gravitationsfeld- und Erdbebendaten
Final Report Abstract
Im Projekt wurden unterschiedliche Methoden konstruiert, um ein neues Modell von Materialparametern im Inneren zu erstellen. Die entwickelte Wavelet-Methode liefert mit geringer Rechenzeit sehr detaillierte Ergebnisse und ist theoretisch auf eine beliebige Anzahl von Datenpunkten anwendbar. Allerdings ist es nicht möglich, unterschiedliche Datentypen gemeinsam zu invertieren. Des Weiteren müssen die Daten entweder auf einem Quadraturgitter oder auf einem regelmäßigen Gitter gegeben sein. Dies ist in der Realität nicht immer der Fall. Die im Anschluss entwickelte Spline-Methode ermöglicht eine gemeinsame Inversion unterschiedlicher Datentypen auf unregelmäßigen Gittern. Dabei ist die Lösung an die Daten angepasst – wo mehr Daten zur Verfügung stehen, ist eine detailliertere Lösung zu erwarten. Darüber hinaus wurde im Projekt eine vektorielle Version konstruiert, die es zusätzlich erlaubt, die unterschiedlichen Materialparameter (beispielsweise die Dichte und die Geschwindigkeiten von Kompressions- und Scherwellen) unabhängig voneinander aber gleichzeitig zu bestimmen. Allerdings ist die Spline-Methode aus algorithmischer Sicht stark in der Anzahl der verwendbaren Datenpunkte eingeschränkt. Im dritten Teil des Projekts wurde daraufhin eine iterative Methode entwickelt, die die Vorzüge von Spline- und Wavelet-Methoden verbindet. Sie ist weder in der Anzahl der Datenpunkte noch in der Art des verwendeten Datengitters beschränkt im Gegensatz zu den zuvor entwickelten Methoden. Des Weiteren erlaubt auch sie eine gemeinsame Inversion unterschiedlicher Datentypen und liefert eine Lösung, die nicht nur wie die der Spline-Methode an die Datendichte angepasst ist, sondern auch die Struktur der gesuchten Funktion mit einbezieht. Eine detaillierte Studie der Inversion des Gravitationspotentials Südamerikas wurde durchgeführt und veröffentlicht. Des Weiteren konnten auch schon erste vielversprechende Ergebnisse bezüglich der gemeinsamen Inversion von Gravitationsdaten und Normal Mode Anomalien präsentiert werden. Durch verschiedene Kooperationen konnten für diese Inversion die momentan genauesten realen Daten verwendet werden. Jedoch sind die Anwendungen (aller drei Methoden) nicht nur auf die Entwicklung eines neuen Erdmodells beschränkt, sondern allgemein auf die Lösung inverser Probleme zugeschnitten. Es können beispielsweise ökologisch relevante Themen wie die Beobachtung des Wasserhaushaltes der Erde oder bestimmter Regionen und die Bestimmung des Massenverlustes in den arktischen Gebieten durch das Abschmelzen des Eises bearbeitet werden. Ein weiteres Anwendungsgebiet könnte die medizinische Bildgebung sein. Der Algorithmus verspricht mit akzeptablem Zeitaufwand detaillierte Lösungen liefern zu können.
Publications
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A Unified Approach to Various Techniques for the Nonuniqueness of the Inverse Gravimetric Problem and Wavelet-based Methods, Inverse Problems, 24 (2008), 045019 (25pp)
V. Michel, A.S. Fokas
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Multiscale Methods for the Combined Inversion of Normal Mode and Gravity Variations, 2009, Dissertation, Shaker Verlag, Aachen
P. Berkel
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On Mathematical Aspects of a Combined Inversion of Gravity and Normal Mode Variations by a Spline Method, Mathematical Geosciences, 42 (2010), 795-816
P. Berkel, V. Michel
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Tomography – Problems and Multiscale Solutions, in: Handbook of Geomathematics (W. Freeden, M.Z. Nashed, T. Sonar, eds.), 2010, 949-972
V. Michel
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Sparse Regularization of a Joint Inversion of Gravitational Data and Normal Mode Anomalies, 2011, Dissertation, Verlag Dr. Hut, München
D. Fischer
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Sparse Regularization of Inverse Gravimetry – Case Study: Spatial and Temporal Mass Variations in South America, Preprint, Siegen Preprints on Geomathematics, 5 (2011)
D. Fischer, V. Michel
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Spline Multiresolution and Numerical Results for Joint Gravitation and Normal Mode Inversion with an Outlook on Sparse Regularisation, International Journal on Geomathematics, 1 (2011), 167-204
P. Berkel, D. Fischer, V. Michel
