Massiv parallele Simulationen von Arterienwänden: Kontinuumsmechanische Modellbildung und numerische Lösung mittels FETI-Gebietszerlegungsverfahren
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In der ersten Förderperiode wurde das anisotrope, hyperelastische Materialverhalten von Arterien unter Berücksichtigung von Schädigungseffekten bei finiten Deformationen modelliert. Die Lösung der auftretenden Gleichungssysteme wurde mit robusten Algorithmen aus der Familie der nicht-überlappenden Gebietszerlegungsverfahren, genauer den "dual-primalen Finite Element Tearing and Interconnecting“ (FETI-DP)-Verfahren, durchgeführt. Darauf aufbauend wurden in der zweiten Förderperiode geeignete Orientierungsverteilungsfunktionen für die Kollagenfasern in den Schichten der Arterie berücksichtigt, um der Streuung der Faserbündel bezüglich ihrer Faserrichtung Rechnung zu tragen. Um die Existenz der Lösungen weiter garantieren zu können, wurden spezielle anisotrope polykonvexe Energiefunktionen gewählt. Ferner zeigten numerische Studien, dass neben der Quasi-Inkompressibilitätsbedingung auch der Grad der Anisotropie eine erhebliche Rolle bezüglich der Robustheit der FE-Diskretisierung spielt. Aus diesem Grund wurde eine modifizierte Finite-Element-Methode entwickelt, die auf einer separaten Approximation des Deformationsgradienten, des Cofaktors des Deformationsgradienten und der Volumendilatation basiert. Außerdem wurde die Augmented-Lagrange-Methode in Kombination mit i) dem Uzawa-Algorithmus (verschachtelte Iteration) und ii) mit einer simultanen Iteration untersucht. Im Hinblick auf die Weiterentwicklung der FETI-DP Algorithmen sind unter anderem Deflationstechniken zur Implementierung von Grobgitterproblemen entwickelt worden. Diese wurden für geeignete Modellprobleme getestet und analysiert. Des Weiteren erforderte die Analyse von Modellproblemen mit quasi-inkompressiblen und kompressiblen Materialanteilen zum Teil die Entwicklung neuer theoretischer Hilfsmittel. Im Bereich der inexakten FETI-DP-Verfahren konnte durch numerische Experimente auf dem JUGENE-Supercomputer die parallele Skalierbarkeit eines FETI-DP-Verfahrens für mehrere zehntausend Prozessorkerne nachgewiesen werden. Auch wurde der Aufbau des numerischen Labors, bestehend aus dem Finite-Element Programm FEAP und der FETI-Löser-Umgebung, fortgesetzt. Dabei ist eine vollparallele Anwendung entwickelt worden, in der sowohl die Problemerstellung (FEM) als auch die Problemlösung (FETI-DP) parallelisiert erfolgt. Parallele Tests hiermit wurden auf der Cray XT6m (4 128 Prozessorkerne) der Universität Duisburg-Essen durchgeführt. Aufbauend auf diesen Ergebnissen sind umfangreichere FE-Simulationen an größeren Arterienabschnitten realisiert worden. Dies ermöglichte realitätsnähere Aussagen über die Beanspruchung der Arterie während einer Ballon-Angioplastie. In künftigen Arbeiten soll ein Modell zur Berücksichtigung von Eigenspannungen entwickelt werden. Diese beeinflussen das Materialverhalten innerhalb der Arterienwand maßgeblich und dienen dazu Spannungsverteilungen aus biologisch-physikalischer Sicht zu optimieren. Außerdem sollen weitergehende Experimente eine Identifizierung geeigneter Materialparameter für die Plaquekomponenten ermöglichen. Damit die dreidimensionale FE-Diskretisierung der Plaquekomponenten in einem nächsten Arbeitsschritt verbessert werden kann, ist eine feinere Auflösung der virtuellen Histologien in arterieller Axialrichtung notwendig. Die Umsetzung des vollparallelen numerischen Labors ermöglicht zukünftig zusammen mit der Rechenzeit auf der Cray XT6m, die der AG Klawonn zur Verfügung steht, Parameterstudien in Bezug auf die Eigenspannungszustände durchzuführen. Die Weiterentwicklung der Theorie der FETI-DP-Gebietszerlegungsverfahren für allgemeinere Teilgebiete in 3D sowie für allgemeinere Koeffizientenverteilungen in Teilgebieten erscheint wünschenswert, insbesondere im Hinblick auf die verschiedenen Materialparameterwerte von Plaque, Adventitia und Media. Da der Prozess der Ballon-Angioplastie dieses Projekt motiviert hat, wurde ein quasi-statisches Problem ohne Interaktion der Arterienwand mit dem Blutfluss betrachtet. Eine Erweiterung auf dynamische Probleme unter Berücksichtigung der Fluid-Struktur-Interaktion ist hier die nächste Herausforderung, wenn ein besseres Verständnis weiterer biologischer Prozesse wie den Auswirkungen von Stenosen auf den Blutkreislauf und die Sauerstoffversorgung oder der Plaque-Ruptur angestrebt werden soll.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- [2008]. “Anisotropic polyconvex energies on the basis of crystallographic motivated structural tensors”. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 56, 3486-3506
J. Schröder, P. Neff, & V. Ebbing
- [2010]. “Highly scalable parallel domain decomposition methods with an application to biomechanics”. ZAMM Z. Angew. Math. Mech., Vol. 90(1), 5-32
A. Klawonn, O. Rheinbach
- [2010]. “Projector preconditioning and transformation of basis in FETI-DP algorithms for contact problems". Math. Comput. Simulation, online verfügbar seit 12/2010
Jarosova, M.; Klawonn, A.; Rheinbach, O.
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1016/j.matcom.2010.10.031) - [2011]. “A new Mixed Finite Element based on Different Approximations of the Minors of Deformation Tensors”. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 200, 3583-3600
Schröder, J.; Wriggers, W.; Balzani, D.
- [2011]. “Deflation, Projector Preconditioning, and Balancing in Iterative Substructuring Methods: Connections and New Results”. SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 34, No. 1, pp. A459-A484, elektronisch verfügbar 02/2012
Klawonn, A.; Rheinbach, O.
(Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1137/100811118)
