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Projekt
Regularisierung nichtlinearer schlecht gestellter Probleme in Banachräumen und bedingte Stabilität
Antragsteller
Professor Dr. Bernd Hofmann
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2011 bis 2016
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 190672901
Nach drei Jahren intensiver Projektarbeit zur Banachraumregularisierung durch die Chemnitzer Forschungsgruppe in Zusammenarbeit mit der Fudan (Shanghai) Forschungsgruppe zu inversen Problemen kristallisierten sich noch vier unbehandelte Problemkomplexe heraus, die eng mit den bisherigen Studien und Ergebnissen zusammenhängen und deren weitere Untersuchung gewiss lohnenswert ist. Die vier Themenkomplexe mit Anwendungen in der Bildbearbeitung, der Optik, bei ingenieurmäßigen Fragestellungen und im Finanzbereich, auf denen die Zielstellungen dieses Fortsetzungsantrags für zwei weitere Jahre der Forschung basieren, stellen echte Herausforderungen bezüglich Theorie und Praxis von Regularisierungsmethoden dar. A. Der erste Problemkomplex bezieht sich auf Banachraumregularisierung unter Sparsity-Nebenbedingungen mit diversen Anwendungen in der mathematischen Bildverarbeitung: (a) wenn die Sparsity-Erwartung knapp verfehlt wird und (b) falls zusätzlich zu gestörten Daten auch der Vorwärtsoperator nur nährungsweise bekannt ist. Im Fall (a) gibt es noch ein Defizit bei Fehlerabschätzungen und Konvergenzraten bei der l1-Regularisierung, wenn der Vorwärtsoperator nicht injektiv ist. Solche Abschätzungen fehlen völlig für Penalty-Funktionale mit l0-Komponenten. Für (a) und (b) muss die Rolle von mathematischen Techniken zur Darstellung von Lösungsglattheit (Quellbedingungen und Variationsungleichungen) weiter verifiziert werden. B. Es ist ein merkwürdiges Phänomen, dass in der Regularisierungtheorie Fehlerabschätzungen und Konvergenzraten für die Tikhonov-Regularisierung für nichtlineare inkorrekte Operatorgleichungen und für inkorrekte lineare Gleichungen in Banachräumen immer darauf beruhen, dass das Penalty-Funktional endliche Werte für das Lösungselement annimmt, wohingegen keine Resultate bekannt sind, wenn der Penalty in Bezug auf die Glattheitsklasse der erwarteten Lösung überglättend ist. Andererseits wissen wir seit 30 Jahren von F. Natterer, dass Konvergenzraten für überglättende Penaltys im Falle linearer inkorrekter Probleme in Hilbertskalen formuliert werden können. Es wird Zeit, diese Verständnislücke zu schließen und Möglichkeiten und Grenzen von Fehlerabschätzungen für überglättende Penaltys zu beschreiben. C. In den letzten Jahren wurde eine beträchtliche Zahl von Nichtlinearitätsbedingungen eingeführt, auf deren Gültigkeit die Konvergenzratentheorie entscheidend aufbaut. Es gibt jedoch eine Lücke zwischen der allgemeinen Theorie und ihrer praktischen Nutzbarkeit. Es ist das Ziel dieses dritten Komplexes, Fortschritte auf diesem Feld zu erreichen. D. Motiviert durch Studien zur Schätzung von mehrdimensionalen Copula-Dichten als inverses Problem in L1 über dem d-dimensionalen Hyperwürfel, d=2,3,..., scheint es ein interessantes Problem zu sein, Regularisierungszugänge und deren effiziente numerische Umsetzung für inkorrekte Volterra-Integralgleichungen in höheren Dimensionen zu finden, wenn die Lösung nicht sehr glatt ist.
DFG-Verfahren
Sachbeihilfen
Internationaler Bezug
China, China (Hongkong), Österreich
