Modulräume zu Bündeln über Azumaya-Algebren im Fall algebraischer Flächen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Generisch einfache Modulgarben über Azumaya Algebren über projektiven Schemata können bei Fixierung der Chernschen Klassen zu Modulschemata zusammengefasst werden, sowohl für den Fall unverzweigter Azumaya Algebren als auch im Fall verzweigter. Diese Modulschemata werden in Fällen kleiner Chernscher Zahlen beziehungsweise kleiner Diskriminanten studiert. Es wurde gezeigt, dass Modulräume über sogenannten del Pezzo-Ordnungen immer glatt sind. Dabei war verschiedentlich die Adaption bekannter allgemeiner Ergebnisse, etwa der Serre Dualität, an die hier vorliegende nichtkommutative Situation erforderlich. Weiter wurde gezeigt, dass die Dimension dieser Modulräume nur von den Chernschen Klassen abhängt. Ein technisches, aber wichtiges Resultat zur Deformation von Modulgarben, das für unverzweigte Algebren bekannt war, wurde auf die Situation mit Verzweigung weitgehend übertragen. Weiter wurde mit Hilfe sogenannter nichtkommutativer zyklischer Überlagerungen, im Sinne von Chan, eine del Pezzo-Ordnung vom Rang 9 über der projektiven Ebene konstruiert, die in einer glatten elliptischen Kurve verzweigt ist. Es wurden hierzu Modulschemata zu kleinen Diskriminanten näher untersucht und in zwei Fällen konnte gezeigt werden, dass die Modulräume nur aus einem reduzierten Punkt bestehen. Schließlich wurde in diesem Zusammenhang eine sogenannte Calabi-Yau Ordnung auf der projektiven Ebene konstruiert, die in einer glatten Sextik verzweigt ist. Auch hier wurden zwei Fälle mit minimaler zweiter Chernklasse genauer studiert. Wieder sind die betrachteten Modulschemata einpunktig. Im ersten Fall ist der Punkt reduziert, im zweiten Fall bleibt dies noch offen. Desweiteren wurden analog Modulgarben über arithmetischen Flächen über dem Ganzheitsring eines Zahlkörpers betrachtet, die im Sinne der Arakelov Geometrie zusätzlich mit hermiteschen Metriken auf den assoziierten Riemannschen Flächen über den archimedischen Stellen des Zahlkörpers versehen sind. Im grundlegenden Fall der projektiven Geraden über dem Ring der ganzen Zahlen wurde untersucht, wann Modulgarben über der arithmetischen Kurve nicht spalten. Solche Beispiele sind lange bekannt, hier werden sie auf eine andere Weise konstruiert und dann im Kontext der Arakelov Geometrie studiert. Es wurde das arithmetische Riemann-Roch Theorem im Sinne von Gillet und Soulé in der vorliegenden Situation so explizit wie möglich ausgewertet. Schlussendlich wurde die sogenannte Deligne-Paarung im Kontext von Azumaya Algebren konstruiert, wie zu erwarten , mit Hilfe der Morita-Äquivalenz.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Moduli spaces of bundles over two-dimensional orders. eDiss Göttingen
F. Reede
- Vector bundles and Arakelov geometry on the projective line over the integers. Preprint
F. Reede
- A Deligne pairing for Hermitian Azumaya modules. Preprint
F. Reede
