Motive und kanonische Dimension von Formen torischer Varietäten

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Gille
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2011 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 194788948

Motive wurden in den 60er Jahren des letzten Jahrhunderts von A. Grothendieck eingeführt. Sie spielen eine zentrale Rolle im Verständnis der Kohomologie von Schemata, und damit in der algebraischen Geometrie an sich. Kanonische Dimension, oder allgemeiner die essentielle Dimension, ist ein relativ junger Dimensionsbegriff, der grob gesagt die Komplexität eines algebraischen Objektes, wie z. B. einer algebraischen Gruppe oder einer zentral einfachen Algebra, misst. In kürzlich erschienen Arbeiten von N. Karpenko und A. Merkurjev wurden Zusammenhänge zwischen der kanonischen Dimension einer projektiven homogenen Varietät und der Größe des sogenannten oberen Motives - dies ist der direkte Summand, der über dem algebraischen Abschluss den elementaren vom rationalen Punkt kommenden Summanden enthält - dieser Varietät aufgezeigt. Insbesondere konnte in manchen Fällen die kanonische Dimension mit Hilfe der motivischen Zerlegung berechnet werden. Ziel des Projektes ist es einerseits diese Techniken weiter auszubauen, aber auch andererseits auf neue Beispiele anzuwenden. Hier sind vor allem Torsore von Tori interessant. Für solche Varietäten existiert immer ein projektiver glatter Abschluss, eine Form des sogenannten Demazure Modells, das eine torische Varietät ist, deren Chow-Theorie über dem algebraischen Abschluss wohlbekannt ist. Es sollte daher möglich sein zumindest den unteren Summanden des Motives einer solchen Varietät zu verstehen, und dieses Wissen dann wiederum zur Berechnung der kanonischen Dimension von Tori heranzuziehen. Dies ist das Hauptziel dieses Projektes.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Beteiligte Person: Dr. Roland Lötscher