Numerical solution of stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients

• Antragsteller: Professor Dr. Arnulf Jentzen
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2011 bis 2012
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 196762502

Stochastische Differentialgleichungen (SDEs) sind ein fundamentales Werkzeug zur Modellierung stochastischer Prozesse in Natur, Technik und Wirtschaft. Da exakte Lösungen solcher Gleichungen in der Regel nicht explizit bekannt sind, ist es seit ca. 40 Jahren ein stark bearbeitetes Forschungsgebiet SDEs approximativ zu lösen. Zur Zeit gibt es allerdings eine große Diskrepanz zwischen den verwendeten Annahmen für numerische Approximationsmethoden für SDEs und den tatsächlich erfüllten Bedingungen in Anwendungen, z.B. in der Populationsdynamik, der Molekulardynamik oder der Ökonomie. Genauer gesagt: In vielen solcher Anwendungen treten SDEs mit nicht global Lipschitz-stetigen Nichtlinearitäten auf, während in der überwältigenden Mehrheit der Forschungsarbeiten zur numerischen Approximation von SDEs die globale Lipschitz-Stetigkeit der Nichtlinearitäten der SDE angenommen wird. Insbesondere war es eine offene Frage, ob das stochastische Euler-Verfahren, das Standardverfahren zur Approximation von gewöhnlichen SDEs, im starken Sinne gegen die exakte Lösung einer gewöhnlichen SDE mit einem superlinear wachsenden (und daher nicht global Lipschitz-stetigen) Driftkoeffizienten, etwa von der Form x-x^3, konvergiert. In einer kürzlich veröffentlichten Arbeit wurde diese Frage negativ beantwortet und gezeigt, dass das Euler-Verfahren im starken Sinne nicht gegen die exakte Lösung einer solchen SDE konvergiert. Ausgehend von dieser neuen Entwicklung, ist das Ziel dieses Forschungsprojekts der Entwurf und die Analyse von neuen numerischen Methoden, die den Mangel des Euler-Verfahrens an starker Konvergenz überwinden und die gewöhnliche und partielle SDEs mit nicht global Lipschitz-stetigen Nichtlinearitäten approximativ lösen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. E Weinan