Rationale und Meromorphe Bestapproximierende und die Asymptotik von Hermite-Padé Polynomen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Ergebnisse des Forschungsprojektes gehören zu den Themenbereichen der komplexen Approximations- und der geometrischen Funktionentheorie. Es wird die Konvergenz von rationalen H2-Bestapproximierenden auf dem Einheitskreis untersucht, wobei die zu approximierenden Funktionen Verzweigungspunkte besitzen dürfen, wie dies zum Beispiel bei algebraischen Funktionen der Fall ist. Die Konvergenzgeschwindigkeit wird bestimmt, das Phänomen der Überkonvergenz untersucht und beschrieben, und die asymptotische Verteilung der Pole der rationalen Approximierenden wird charakterisiert. Durch die Arbeit werden Ergebnisse verallgemeinert, die vorher nur für Markoff Funktionen zur Verfügung standen. Bei der Untersuchung der Approximation mit rationalen Funktionen spielen gewisse Typen von Orthogonalitätsrelationen der Nennerpolynome eine entscheidende Rolle, und es ist bei der Approximation im Komplexen eine Besonderheit, dass diese Relationen nicht Hermitesch sind, was unorthodoxe Methoden zu ihrer Analyse erfordert. Diese Problematik wurde erforscht und der Zusammenhang mit den dabei auftretenden potential-theoretischen Fragen geklärt. Ansätze zur Behandlung solcher Probleme sind schon seit den achtziger Jahren in der Literatur vorhanden, diese werden aufgegriffen, systematisiert, und in methodisch gestraffter und verallgemeinerter Form bewiesen. Ein weiteres Thema von zentraler Bedeutung für rationale und meromorphe Approximation sind Mengen minimaler Kapazität. Dieser Problembereich wurde systematisch untersucht. Ein zentrales Ergebnis ist zum Beispiel der Beweis der eindeutigen Existenz solcher Mengen und deren Charakterisierung unter denkbar allgemeinen Voraussetzungen. Ferner wird eine Erweiterung des '1/9'-Problems bewiesen, welches die rationale Bestapproximation auf (-oo,0] in der uniformen Norm zum Gegenstand hat. In der erweiterten Form werden Funktionen des Typs f = uo + u1 exp approximiert, wobei uo und u1 rationale Funktionen sind. Einen weiteren Schwerpunkt im Forschungsprojekt bildeten die Hermite-Padé Approximierenden. Die Konvergenz solcher Approximierenden vom Typ II wurde bei Exponentialfunktionen erforscht. Die Ergebnisse vervollständigen eine frühere Arbeit des Antragstellers zu der analogen Fragestellung bei Approximierenden vom Typ I. In einer weiteren Arbeit wird die BMV (Bessis, Moussa, Villani, 1975) - Vermutung bewiesen, bei der es sich um eine Problemstellung handelt, die ihren Ursprung in der Quantenthermodynamik hat, und für deren Lösung vielfältige Ansätze aus sehr unterschiedlichen Gebieten der Mathematik bisher schon versucht wurden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Type II Hermite-Padé approximation to the exponential function. J. Comp. and Appl. Math., 207:227-244, 2007
A.B.J. Kuijlaars, H. Stahl, W. Van Assche, and F. Wielonsky
- An extension of the '1/9'—problem. Journal of Computational and Applied Mathematics, 233(3):821 - 834, 2009
H. Stahl and Th. Schmelzer
- A potential-theoretic problem connected with complex orthogonality. Contemporary Mathematics, 507:255-285, 2010
H. Stahl
- Proof of the BMV conjecture, 2011
H. Stahl
- Sets of minimal capacity and extremal domains, 2012
H. Stahl
- Weighted extremal domains and best rational approximation. Advances in Mathematics, 229(1):357 - 407, 2012
Laurent Baratchart, Herbert Stahl, and Maxim Yattselev
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.09.005)
