High-dimensional stochastic differential equations under sparsity constraints
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Eines der zentralen Ziele des Projektes war es zu untersuchen, inwiefern Struktur und Geometrie des Diffusionskoeffizienten Einfluss auf die Schätzung der Drift und allgemeineren Funktionalen bei einer homogenen Ito-Diffusion hat. Hierbei hat sich herausgestellt, dass es keinen Einfluss des (nicht-degenerierten) Diffusionskoeffzienten auf die Konvergenzrate gibt, aber durchaus auf die Effizienzkonstante. Diese optimale Konstante wurde in beiden Problemen, der punktweisen adaptiven und der L2-adaptiven Driftschätzung bestimmt. Das bearbeitete Projekt ist technisch sehr anspruchsvoll, da typische im eindimensionalen Fall verwendete Techniken wie die Okkupationszeitformel wegen Mangel an Existenz der Lokalzeit im Mehrdimensionalen nicht zur Verfügung stehen. Ein angedachter Weiterentwicklungspunkt der bisherigen Ergebnisse ist die Untersuchung der Auswirkungen einer sogenannten low-rank-Annahme an den Diffusionskoeffizienten auf die optimale Driftschätzung. Die low-rank-Annahme ist eine mögliche Dünnbesetztheitsannahme, zu deren Untersuchungen die in meiner Vorlesungsreihe auf der vom SPP 1324 geförderten Sommerschule 2013 in l’Aquila (Italien) präsentierten Techniken sehr nützlich sind. Die in der Dissertation von Claudia Strauch betrachtete Driftschätzung involviert einen adaptiven Schätzer der invarianten Dichte. Bei dessen Untersuchung ist klar geworden, dass die optimalen punktweisen Raten nicht von der Glattheit allein, sondern auch von dem Wert der Dichte abhängen. Diese Beobachtung war Ausgangspunkt des Anschlussprojektes mit Tim Patschkowski, in dem erstmalig simultane Adaptivität an Glattheit und sogenannte ”lowest density regions” in einem abstrakten Rahmen studiert worden ist.
