Analytische Aspekte von nicht-kommutativen Verteilungen in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In dem Projekt wurden analytische Werkzeuge entwickelt, um die Eigenschaften von nichtkommutativen Verteilungen in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie zu verstehen. Dabei ergaben sich folgende spektakuläre Ergebnisse: • Wir entwickelten analytische Beschreibungen der additiven und multiplikativen operatorwertigen freien Faltungen. Dies erlaubt die Berechnung von asymptotischen Eigenwertverteilungen von Zufallsmatrizen, welche vorher nicht zugänglich waren. Insbesondere haben wir einen Algorithmus entwickelt, welcher beliebige Polynome in freien Zufallsvariablen zu behandeln erlaubt. Zur Zeit dehnen wir diese Ergebnisse auf größere Klassen von Funktionen aus, wie z.B. (nicht-kommutative) rationale Funktionen. • Wir haben ein fundamentales Problem über nicht-kommutative Verteilungen gelöst, indem wir zeigen konnten, dass nicht-konstante Polynome in “generischen” nicht-kommutierenden Operatoren keine Atome in ihrer Verteilung besitzen können. Dies beruht auf neuen Ergebnissen über nicht-kommutativen Ableitungen; mit Hilfe des freien Malliavinkalküls konnen wir entsprechende Aussagen auch für freie stochastische Integrale ableiten. Dies ist ein erster entscheidender Schritt in die Richtung, dass wir die Regularität von Lösungen von freien stochastischen Differentialgleichungen kontrollieren können. Diese Untersuchungen haben wesentlich dazu beigetragen, dass der Antragsteller sowohl eine Einladung zu einem Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress 2014 in Seoul als auch einen ERC Advanced Grant von der EU erhalten hat.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Analytic subordination theory of operatorvalued free additive convolution and the solution of a general random matrix problem. J. Reine Angew. Math.
S. Belinschi, T. Mai, and R. Speicher
- Classical and free infinite divisibility for boolean stable laws. Proceedings of AMS 141 (2014), 1621//1632
O. Arizmendi and T. Hasebe
(Siehe online unter https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12111-3) - Free Probability and Random Matrices. Proceedings of ICM 2014
R. Speicher
- Operator-valued free multiplicative convolution: analytic subordination theory and applications to random matrix theory, International Mathematics Research Notices (2014): rnu114
S. Belinschi, R. Speicher, J. Treilhard, and C. Vargas
- Absence of algebraic relations and zero divisors under the assumption of full non-microstates free entropy dimension
T. Mai, R. Speicher, and M. Weber
