Analyse mehrparametriger Eigenwertprobleme aus der Strukturdynamik mit Homotopiemethoden

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Lothar Gaul (†)
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 20825383

• Erstellungsjahr: 2011

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Ein mechanisches System wird bereits in der Designphase mit den Methoden der Strukturdynamik untersucht, indem zunächst ein physikalisches Modell aufgebaut wird, das dann mit Hilfe von Differentialgleichungen beschrieben wird. Die Differentialgleichungen müssen gelöst werden, um Aussagen uber das Verhalten des Systems zu gewinnen. Sollen schwingungsfähige Systeme untersucht werden, so werden die Differentialgleichungen häufig mit Hilfe einer Eigenwertanalyse gelöst, die Aussagen uber die freien Schwingungen des Systems liefert. Eigenwerte und Eigenvektoren liefern Aussagen uber die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen. Mit diesen Modalparametern lassen sich erzwungene Schwingungen mit der Modalanalyse behandeln. Im Falle von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die häufig in der Strukturdynamik auftreten, erhält man quadratische Eigenwertprobleme, in denen der Eigenwert λ quadratisch auftritt: (λ2 M + λP + Q)x = 0. M ,P ,Q sind die Systemmatrizen des Modells, xi ist der Eigenvektor zum Eigenwert λi . Oft ist insbesondere der Einfluss von bestimmten Systemparametern auf das Verhalten einer Struktur zu untersuchen. Bisher wurde dazu der Parameterraum diskretisiert und für verschiedene Parameterwerte wiederholt Eigenwertprobleme gelöst. Bei großen Modellen mit vielen Freiheitsgraden (Anzahl n) und mehreren Parametern ergibt sich ein hoher Berechnungsaufwand. Darüber hinaus erhält man für jeden Parameterwert unabhängige Eigenwerte, es kann oft keine Aussage über die Änderung einzelner Eigenwerte und Eigenvektoren in Abhängigkeit der Paramter getroffen werden. Mit Hilfe einer Pfadverfolgung wird die Parameterabhängigkeit der Eigenwerte untersucht. Dazu werden die Änderungen der Eigenwerte bei Parameteränderungen betrachtet, ein Zusammenhang zwischen den Eigenwerten bei verschiedenen Werten der Systemparameter hergestellt und für die Berechnung ausgenutzt. Im Rahmen des Projekts wurden Algorithmen entwickelt, die in der Lage sind, parameterabhängige quadratische Eigenwertprobleme effizient zu lösen. Zwei der Algorithmen wurden im Projektantrag vorgeschlagen, im Rahmen des Projekts untersucht und verglichen, ein weiterer Algorithmus wurde implementiert und auf seine Anwendbarkeit auf quadratische Eigenwertprobleme untersucht. Es hat sich gezeigt, dass zwei der Algorithmen, die Prädiktor-Korrektor-Methode und die Rayleigh-Quotient-Iteration, sich sehr gut für eine Pfadverfolgung eignen. Die Algorithmen wurden auf verschiedene Beispielsysteme aus der Strukturdynamik angewendet. Neben den Systemen mit Fügestellendämpfung, die in Zusammenarbeit mit Sergey Bograd und André Schmidt im Rahmen des FVV-Projekts "Experimentelle Ermittlung von Kennwerten zur Werkstoff- und Fügestellendämpfung sowie deren Berücksichtigung in Finite-Elemente-Berechnungen“ bearbeitet wurden, waren das unter anderem Minimalmodelle zum Bremsenquietschen und fluiddurchströmte Rohrleitungen. Besondere Aufmerksamkeit wurde Bifurkationen (Verzweigungen der Eigenpfade) gewidmet, die bei der Pfadverfolgung auftreten können. Dabei treten mehrfache Eigenwerte auf und die Algorithmen können auf numerische Probleme stoßen. Da die Eigenwerte in der direkten Umgebung von Bifurkationen sehr sensitiv auf Parameteränderungen reagieren, kann eine Störung der Eigenwerte mit kleinen Zufallsmatrizen dafür sorgen, dass sich die Eigenwerte im Bifurkationspunkt nicht exakt treffen, sondern mit geringem Abstand aneinander vorbeilaufen. Die im Rahmen des Projekts entwickelten und untersuchten Algorithmen sind in eine Form zu bringen, so dass sie von anderen Wissenschaftlern und Anwendern in der Ingenieurpraxis einfach genutzt werden können. Als erster Anwendungsfall sind Untersuchungen zum Bremsenquietschen, das am Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik untersucht wird, geplant. Das Systemverhalten ist nicht konservativ und zeichnet sich durch unsymmetrische Systemmatrizen und komplexe Eigenvektoren aus. Es ist mit Bifurkationen der Eigenwerte zu rechnen. Die Algorithmen zur Pfadverfolgung der parameterabhängigen Eigenwertprobleme lassen sich auch nutzen, um viele ähnliche Eigenwertprobleme effzient zu lösen. Hier ist der Einbau der Eigenwertlöser in Berechnungsmethoden für Modelle mit epistemischen (möglichkeitesbasierten) Unsicherheiten mit der Fuzzy-Arithmetik geplant.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A boundary tracing method and its application to inwardoriented rotating cantilever beam. ASME 20th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise. Long Beach, California USA, 24.-28. September 2005
  Gaul, Lothar; Wagner, Nils
  
• A boundary tracing method and its application to inwardoriented rotating cantilever beam. Proceedings of VIB CD-ROM, Long Beach, California USA, 2005
  Gaul, Lothar; Wagner, Nils
  
• A continuation approach to a quadratic matrix equation. GAMM Workshop Applied and Numerical Linear Algebra. Dresden, 22.-24. September 2005
  Wagner, Nils
  
• Habilitation im Fachgebiet Dynamik mechanischer Systeme. Universität Stuttgart, Habilitation. 2005
  Hoffmann, Norbert
  
• Parameter-dependent matrix eigenvalue problems and their applications in structural dynamics. Sixth European Conference on Structural Dynamics. Paris, 4.-7. September 2005
  Wagner, Nils; Gaul, Lothar
  
• A Krylov Based Method for Quadratic Matrix Equations. In: Willner, Kai (Hrsg.); Hanss, Michael (Hrsg.): Angewandte und Experimentelle Mechanik – Ein Querschnitt Bd. 2006/3. Tönning, Lübeck und Marburg: Der andere Verlag, 2006, S. 283–304
  Wagner, Nils
  
• On linear stability of steady sliding with LuGre dynamic friction. In: Willner, Kai (Hrsg.); Hanss, Michael (Hrsg.): Angewandte und Experimentelle Mechanik – Ein Querschnitt Bd. 2006/3. Tönning, Lübeck und Marburg: Der andere Verlag, 2006, S. 61–75
  Hoffmann, Norbert
  
• Stability analysis of gyroscopic systems via quadratic matrix equations. IFToMM 7th International Conference on Rotor Dynamics. Wien, 25.- 28. September 2006
  Wagner, Nils; Gaul, Lothar
  
• Nonlinear Eigenvalue Problems in Structural Dynamics: An Overview. Center for Nonlinear Mechanics at the University of Bath. Bath, UK, 29.Mai 2007
  Wagner, Nils
  
• A comparison of eigenvalue following algorithms applied to structures with symmetric complex-valued stiffness matrices. Proceedings of the ICEDyn. Ericeira, Portugal, 22.-24. Juni 2009
  Miller, Urs; Bograd, Sergey; Schmidt, André; Gaul, Lothar
  
• Eigenpath following for systems with symmetric complex-valued stiffness matrices. In: Journal of Shock and Vibration 17 (2010), Nr. 4-5, S. 397-405
  Miller, Urs; Bograd, Sergey; Schmidt, André; Gaul, Lothar
  
• Model Reduction Methods for FE-BE Coupling Applied to Vibro-Acoustic Simulations and Experimantal Validation. Universität Stuttgart, Dissertation. 2010
  Junge, Michael
  
• Modellierung von Werkstoff- und Fügestellendämpfung in der FEM. Abschlussbericht Forschungsvereinigung Verbrennungskraftmaschinen (FVV), Heft R553. 2011
  Gaul, Lothar; Schmidt, André; Bograd, Sergey
  
• Solution of quadratic eigenvalue problems by the Rayleigh quotient iteration. GAMM-Jahrestagung. Graz, 18.-21. April 2011
  Miller, Urs; Gaul, Lothar