Musterbildung bei der Phasentrennung in bestimmten elliptischen und parabolischen quasilinearen Gleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Takác
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2011 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 209370747

Das Forschungsprojekt wird sich, von der mathematischen Seite her, mit der Entwicklung und den Anwendungen der Methoden partieller Differentialgleichungen, Variationsrechnung, dynamischer Systeme und der modernen nichtlinearen Funktionalanalysis auf mehrere allgemein bekannte mathematische Modelle für Phasentrennung befassen, z.B. mit der Anwendung auf das klassische “Cahn-Hilliard-Modell”. Die Forschungsaktivität wird sich vor allem auf interessante Phänomene (sowohl dynamisch als auch stationär) konzentrieren, welche man bei der Wechselwirkung zwischen degenerierter (oder singulärer) Diffusion und nichtglatter Reaktion in einer quasilinearen reaktiven Diffusionsgleichung beobachten oder zumindest erwarten kann. Hier können z.B. mehrdimensionale glatte Mannigfaltigkeiten von kritischen Punkten des Energiefunktionals (d.h. stationäre Lösungen) entstehen. Es handelt sich um nichtglatte Verzweigungsprobleme (Bifurkationen), in denen auch Optimierung von Eigenwerten des p-Laplaceoperators ∆p unter den homogenen Neumann- oder Dirichlet- Randbedingungen eine wichtige Rolle spielen wird. Insbesondere entscheidet der Haupteigenwert λ1 von −∆p, ob die zeitabhängige parabolische Evolutionsgleichung mindestens eine nichttriviale positive Lösung u(x, t) für alle Zeiten t ≥ 0 besitzt. Von weiterem praktischen Interesse ist auch das asymptotische Verhalten solcher positiver Lösung u(x, t) für t → +∞.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen