Heat asymptotics on quantum graphs

• Antragsteller: Dr. Ralf Rueckriemen
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 209743911

Spektralgeometrie untersucht die Verbindungen zwischen einem Raum und dem Spektrum eines Differentialoperators der auf dem Raum operiert. Der Raum ist klassisch eine Mannigfaltigkeit, andere Möglichkeiten sind Orbifolds, Riemannsche Flächen oder kombinatorische oder Quantengraphen. Die Verbindung ist oft sehr eng, das Gründungspaper des Gebiets ist Kac's 'Can one hear the shape of a drum?' in dem er fragt, ob das Spektrum den zugrunde liegenden Raum vollständig bestimmt. Im Allgemeinen ist die Antwort Nein, viel Forschung wurde investiert um Beispiele von isospektralen Räumen zu konstruieren und herauszufinden, welche Eigenschaften eines Raumes vom Spektrum bestimmt sind und welche nicht. Wir wollen diese Frage für Quantengraphen studieren, ein Quantengraph ist ein 1-dimensionales Netzwerk, daher ein Graph, in dem jede Kante mit einer Länge ausgestattet ist. Wir werden Differentialoperatoren zweiter Ordnung, deren höchste Ordnung der Standard-Laplace-Operator ist, betrachten. Unter Verwendung der Wärmegleichung wollen wir eine asymptotische Entwicklung des Hitzekerns zeigen. Diese Entwicklung ist vom Spektrum bestimmt und enthält verschiedene Eigenschaften des Quantengraphen und des Operators. Das wäre ein neues Werkzeug um spektral bestimmte Eigenschaften von Quantengraphen zu finden. Eine ähnliche Entwicklung existiert für Mannigfaltigkeiten und Orbifolds. Es ist die Hauptquelle für spektral bestimmte Eigenschaften. Wir erwarten, dass die Beweismethoden, die für Mannigfaltigkeiten verwendet werden, auf Quantengraphen übertragen werden können.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Jens Bolte