Homologische Methoden in Äquivarianter Fuller Index Theorie

• Antragsteller: Dr. Philipp Wruck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2011 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 209744697

Die Untersuchung dynamischer Systeme ist ein zentrales Anliegen vieler verschiedener Wissenschaftszweige. Viele bestehende Theorien verbinden dabei ein rein innermathematisches Interesse am Verhalten bestimmter Objekte mit einer Fülle von Anwendungsmöglichkeiten in Physik oder Wirtschaftswissenschaften. Vorhandensein von Symmetrie ermöglicht eine effizientere Untersuchung des Systems mit speziell angepassten Methoden und damit oft eine signifikante Reduzierung der Komplexität. In diesem Forschungsprojekt sollen kontinuierliche dynamische Systeme mit zusätzlicher Symmetrie untersucht werden. Von besonderem Interesse in der Betrachtung solcher Systeme sind ihre periodische Orbits, welche in gewisser Weise das gesamte System charakterisieren. Es ist möglich, die periodischen Orbits eines Systems zu zählen, in dem man ihnen eine rationale Invariante zuordnet. Dies erlaubt eine grobe aber dennoch bedeutsame Einteilung solcher Systeme gemäß des Wertes dieser Invarianten. Erst kürzlich konnte dieser sogenannte Index an Systeme mit zusätzlicher Symmetrie angepasst werden. Es sind jedoch noch viele Fragen in diesem Zusammenhang zu klären, nicht zuletzt etwa, wie die Invariante überhaupt berechnet werden kann. In diesem Projekt soll der Index für Systeme mit Symmetrie in einen breiteren mathematischen Rahmen eingeordnet werden. Dies würde eine bedeutende Vertiefung des Verständnisses dieser Invarianten erlauben und somit letztendlich auch bessere Methoden zur Berechnung des Index liefern. Von besonderer Bedeutung ist es, den Index geometrisch zu interpretieren und in diesem Zusammenhang algebraisch-topologische Methoden, sogenannte äquivariante Homologietheorien, heranzuziehen, um die Verbindung von Dynamik und Geometrie herzustellen. Aus mathematischer Sicht ist dies ein interessantes Anwendungsbeispiel dieser Theorien, welche zwar große theoretische Bedeutung besitzen, in Anwendungen aber oft wegen ihrer enormen Komplexität schwierig zu handhaben sind.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. John Greenlees