Homological Methods in Equivariant Fuller Index Theory
Final Report Abstract
In meinem Projekt habe ich zunächst ein Axiomensystem aufgestellt, welches äquivariante Homotopieinvarianten bis auf eine Normierung eindeutig charakterisiert. Das Axiomensystem verallgemeinert Vorarbeiten von Laitinen und Läck, Arkowitz und Brown, sowie Goncalves und Weber. Mit Hilfe des Axiomensystems führe ich Vergleiche zwischen bekannten Definitionen äquivarianter Lefschetzzahlen durch und kann damit einige äquivariante Lefschetzzahlen miteinander identifizieren. Dieses Resultat ist auch von praktischer Bedeutung, da es eine konkrete Berechnung einer homologischen Konstruktion zulässt. Als zweiten Teil meines Projektes habe ich die Theorie eines aquivarianten Intersektionsproduktes entwickelt. Dies ist die Untersuchung des Einflusses der bekannten Produktstruktur in äquivarianter gewöhnlicher Kohomologie auf gewöhnliche äquivariante Homologie mittels Poincare-Dualität. Diese Resultate sind eine Übertragung fundamentaler geometrischer Überlegungen in die äquivariante Welt. Es gelang mir, mittels dieser Theorie eine äquivariante Lefschetzzahl zu definieren, welche Aufgrund ihrer Definition eine direkte geometrische Interpretation zulässt. Mittels der zuvor entwickelten Axiomatik konnte ich meine Lefschetzzahl dann mit anderen, bereits bekannten, Invarianten identifizieren. Ich konnte ferner einen wichtigen Satz beweisen welcher eine konkrete Berechnung dieser Lefschetzzahl aus lokalen Fixpunktdaten zulässt. Eine solche Berechnung war vor meiner Arbeit nur schwer durchführbar. Schliesslich konnte ich die Theorie auch anwenden, um einen äquivarianten homologischen Fullerindex zu definieren. Ein solcher Index untersucht periodische Punkte von Flüssen anstelle von Fixpunkten von Abbildungen. Diese homologische Definition war einige Zeit überfällig und identifiziert einen von mir mit dynamischen Methoden konstruierten Fullerindex als homomorphes Bild des homologischen Index.
Publications
- Axiomatic description of Lefschetz type equivariant homotopy invariants. 2013, 23 S.
P. Wruck
- Genericity in equivariant dynamical systems and equivariant Fuller index theory. Dynamical Systems, Volume 29, 2014 - Issue 3, Pages 399-423
P. Wruck
(See online at https://doi.org/10.1080/14689367.2014.903588) - Equivariant Lefschetz and Fuller indices via topological intersection theory. Topol. Appl., Volume 180, 1 February 2015, Pages 16-43
P. Wruck
(See online at https://doi.org/10.1016/j.topol.2014.11.001)
