Numerische Analysis Abstrakter Differential-Algebraischer Gleichungen
Final Report Abstract
Das Projekt widmete sich der Lösbarkeit und Störungsempfindlichkeit nichtlinearer abstrakter Differential-Algebraischer Gleichungen. Im Fokus der Untersuchungen standen dabei Multiphysik-Systeme zur Simulation von Netzwerken, bei denen parabolische oder elliptische Differentialgleichungen über Randbedingungen und/oder Randintegrale an ein System Differential-Algebraischer Gleichungen gekoppelt sind. Solche Modellsysteme sind für die Simulation von Transportnetzen (Wasser/Gas) und von elektronischen Schaltungen bei Einbeziehung örtlicher Drift- und Diffusionsprozesse von Interesse. Erstes fundamentales Resultat des Projektes war der Nachweis der eindeutigen Lösbarkeit allgemeiner nichtlinearer Differential-Algebraischer Gleichungen, dessen Operatoren gewissen strukturellen Bedingungen sowie Monotonie- und Wachstumsbedingungen genügen. Die strukturellen Bedingungen stellen keine Einschränkung für die im Fokus stehenden Multiphysik-Systeme dar, aber die Monotonie-Bedingungen sind im Falle gekoppelter Systeme mit verschiedenen Modellansätzen oftmals nicht gegeben. Entsprechend wurden im Projekt zwei Prototypen gekoppelter Systeme entwickelt, ein elliptischer und ein parabolischer Typ, mit denen sich auch gekoppelte MultiphysikSysteme behandeln lassen. Für beide Prototypen gelang der Beweis der eindeutigen Lösbarkeit. Darüber hinaus wurden Störungsabschätzungen für alle betrachteten Systemklassen nachgewiesen und der Begriff des Störungsindex auf nichtlineare abstrakte Differential-Algebraische Systeme erweitert. Die erzielten Resultate bilden eine wichtige Basis für die numerische Simulation solcher gekoppelter Systeme. Die Störungsabschätzungen zeigen, dass die Lösung stetig von Störungen der rechten Seite und der Anfangsbedingung abhängt. Die betrachteten Galerkin-Gleichungen können zur Entwicklung einer stabilen numerischen Diskretisierung der Systeme verwendet werden. Neben den bereits genannten Modellsystemen aus dem Bereich der Netzwerksimulation hat sich nach Projektende überraschenderweise gezeigt, dass in dem Physiom-Projekt zur Modellierung physiologischer Prozesse im Menschen auch Modellsysteme entwickelt wurden, die Kopplungen der hier entwickelten elliptischen und parabolischen Prototypen darstellen. Entsprechend besteht das Interesse, die hier erzielten Ergebnisse auf solche gekoppelten Modelle zu erweitern. Zudem besteht u.a. für die Simulation von Transportnetzen die Frage der Lösbarkeit von ADAEs mit hyperbolischen Anteilen. Hierzu sind jedoch neue Ansätze nötig, die über die hier extensiv genutzten Monotonieargumente hinausgehen.
Publications
- Numerical Analysis of Nonlinear Partial Dierential-Algebraic Equations. A Coupled and an Abstract Systems Approach. Dissertation, Universität zu Köln, Logos-Verlag Berlin, 2012
Michael Matthes
- Global unique solvability for memristive circuit DAEs of index 1. International Journal of Circuit Theory and Applications, 43(1):73-93, 2015
L. Jansen, M. Matthes, and C. Tischendorf
(See online at https://doi.org/10.1002/cta.1927)
