Elliptische partielle Differentialgleichungen in Hyperkählergeometrie und Eichtheorie: Modulräume von Lösungen und geometrische Invarianten.

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Jan Swoboda
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 215771100

Das Studium nichtlinearer elliptischer partieller Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten ist ein zentraler Gegenstand der Riemannschen und symplektischen Geometrie sowie der Eichtheorie. In vielen Fällen werden dabei Modulräume von Lösungen solcher Gleichungen betrachtet, mit dem Ziel, Invarianten der zugrundeliegenden Geometrie zu finden. Ein Beispiel hierfür sind pseudoholomorphe Kurven (die durch eine elliptische Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben werden) mit den dazugehörigen Gromov-Witten-Invarianten und Floer-Homologiegruppen. Dies hat in den letzten Jahrzehnten zu völlig neuen Einsichten in die Geometrie symplektischer Mannigfaltigkeiten geführt. In jüngerer Zeit wurden einige dieser elliptischen Methoden mit Erfolg auch auf das Studium anderer Geometrien, etwa der Differentialgeometrie von Hyperkähler- oder Quaternional-Kähler Mannigfaltigkeiten, ausgedehnt. Gleichwohl sind viele der damit verbundenen analytischen Fragen noch weitgehend unverstanden. Zwei neuartige elliptische partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit zusätzlicher Eichsymmetrie, die in der Hyperkählergeometrie und in der Eichtheorie von niederdimensionalen Mannigfaltigkeiten in natürlicher Weise auftreten, sollen im Rahmen dieses Projekts eingehend untersucht werden. Dabei soll einerseits die Struktur der Lösungsräume dieser Gleichungen, etwa deren Kompaktheit und Blow-up-Verhalten, charakterisiert werden. Andererseits sollen durch das Studium der resultierenden Modulräume neue geometrische Invarianten gefunden und weiter untersucht werden.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Rafe Mazzeo