Höherdimensionale Klassenkörpertheorie von Varietäten über höherdimensionalen lokalen Körpern
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Unter der Annahme der Gültigkeit eines Lokal-Global-Prinzips (d.i. Kazuya Katos Vermutung über ein sogenanntes kohomologisches Hasse-Prinzip) in niedrigen Graden, konnte gezeigt werden, dass sich der Kern der Reziprozitätsabbildung von regulären eigentlichen Varietäten über höher dimensionalen lokalen Körpern aus einem endlichen und einen p´-divisiblen Anteil zusammensetzt; d.h. dass dieser in einem gewissen Sinne klein ist. Hierbei bezeichnet p die finale Restklassenkörpercharakteristik des jeweiligen höheren lokalen Körpers. Unter denselben Voraussetzungen konnte eine Beschreibung des Kokerns der Reziprozitätsabbildung gegeben werden, welche sich unter guten geometrischen Umständen auf kombinatorische Zusammenhänge beschränkt. Des Weiteren wurden im Laufe des Projekts unter der Voraussetzung der Gültigkeit der Vermutung der Auflösbarkeit von Singularitäten Strategien zum Beweis des genannten kohomologischen Hasse-Prinzips entwickelt. Aufgrund der Abhängigkeit des Hauptergebnisses von den beiden Vermutungen wurde auf eine frühzeitige Publikation verzichtet. Stattdessen ist es dem Autor in einem nachfolgenden Projekt gelungen, Katos Vermutungen für den beschriebenen Rahmen vollständig zu lösen und die Abhängigkeit von der Vermutung über die Auflösung von Singularitäten durch den Beweis einer schwächeren, aber hinreichend starken Version zu ersetzen. Damit ist das Hauptergebnis des gegenständlichen Projekts uneingeschränkt gültig.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Cohomological Hasse principle for schemes over valuation rings of higher dimensional local elds. arXiv:1605.08344[math.NT], 2016.
Patrick Forré
