Stabile und unstabile Homotopietheorie von höheren geometrischen Stacks

• Antragsteller: Professor Dr. David Gepner, Ph.D.; Professor Jeremiah Heller, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 220177288

In diesem Projekt untersuchen wir höhere geometrische Stacks über einem Basisstack, der sowohl algebraisch oder topologisch sein kann. Dies ist eine gemeinsame Verallgemeinerung von motivischer und von äquivarianter Homotopietheorie. Wir konstruieren die unstabile Homotopiekategorie als die A1-Lokalisierung der Unendlichkategorie von Garben in der Nisnevich-Topologie. Die stabile Homotopiekategorie ist durch die Stabilisierung bezüglich einer Menge von Sphären-Bündeln, die zu Vektor-Bündeln auf dem Basisstack assoziiert sind, gegeben. Wir zeigen grundlegende Resultate (wie Homotopical Purity) für diese Unendlichkategorien. Ein wichtiges Werkzeug für Berechnungen ist ein Dualitätstheorem für glatte und eigentliche Abbildungen. Im algebraischen Fall ist es ein wichtiger Spezialfall, wenn der Basisstack BG für eine lineare reduktive Gruppe G ist. Unsere Konstruktion liefert eine äquivariente motivische Homotopietheorie, die bislang nur für endlichen Gruppen konstruiert worden ist. Wir untersuchen den Endomorphismus-Ring des äquivarianten motivischen Sphärenspektrums, das im Fall von endlichen Gruppen mit der Grothendieck-Witt-Gruppe von quadratische Formen mit G-Wirkung in Verbindung steht. Der analoge Fall einer Lie-Gruppe ist gut verstanden, aber unsere Theorie erlaubt auch Operationen von höher-kategoriellen Gruppen wie String- oder Loop-Gruppen. Wir formulieren eine Vermutung, die ein höher-kategorielles Analogon zum tom Dieck-Splitting darstellt, und untersuchen die Verbindung mit Waldhausens A-Theorie-Funktor.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen