Geometry of discrete spaces and spectral theory of non-local operators
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die geometrischen und analytischen Untersuchungen zu diskreten Räumen und nicht-lokalen Operatoren im Rahmen des Projekts haben sich als sehr fruchtbar erwiesen. Dies führte an vielen Stellen zu einem strukturelleren Verständnis der zugrundeliegenden Geometrie dieser Räume und ihres Einflusses auf Spektraltheorie der induzierten Laplaceoperatoren, auf Lösungen der Wärmeleitungsgleichung sowie auf selbstadjungierte Erweiterungen dieser Operatoren. Dabei wurde Geometrie sowohl mittels Krümmung als auch mittels intrinsischer Metriken gefasst. Die Untersuchungen zu diskreter Krümmung in diesem Projekt betten sich ein in ein anhaltend aktives Forschungsfeld und haben zu dessen Fortschritt beigetragen. Die Ergebnisse zu intrischen Metriken waren durch eine Vielzahl von überraschenden Phänomenen motiviert, welche ein scheinbares Auseinanderklaffen der Theorie von kontinuierlichen und diskreten Räumen suggerierten. Durch diese Metriken konnten diese Phänomene nicht nur erklärt werden, sondern auch die Theorie kontinuierlicher und diskreter Räume an wichtigen Stellen vereinheitlicht werden. In diesem Sinne kann man hier sogar von einer abschließenden Behandlung entsprechender Fragen sprechen. Durch verschiedene Ergebnisse gelang es den großen Bogen zur Theorie der regulären Dirichletformen zu spannen. Die im Projekt formulierten Fragestellungen haben sich als überaus interessant, relevant und wegweisend erwiesen. An dem Projekt war eine Vielzahl von Personen beteiligt und die in dem Projekt bearbeiteten Themen haben sich zu einem zentralen Kern der Aktivitäten der beiden Antragsteller und ihrer Arbeitsgruppen entwickelt. Dadurch gewann das Projekt eine über die konkret erzielten Ergebnisse hinausgehende bemerkenswerte Breitenwirkung.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A note on self-adjoint extensions of the Laplacian on weighted graphs. J. Funct. Anal., 265(8):1556–1578, 2013
Xueping Huang, Matthias Keller, Jun Masamune, and Radoslaw K. Wojciechowski
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jfa.2013.06.004) - On the lp spectrum of Laplacians on graphs. Adv. Math., 248:717–735, 2013
Frank Bauer, Bobo Hua, and Matthias Keller
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.05.029) - Spectral analysis of certain spherically homogeneous graphs. Oper. Matrices, 7(4):825–847, 2013
Jonathan Breuer and Matthias Keller
(Siehe online unter https://doi.org/10.7153/oam-07-46) - Volume growth and bounds for the essential spectrum for Dirichlet forms. J. Lond. Math. Soc. (2), 88(3):883–898, 2013
Sebastian Haeseler, Matthias Keller, and Radoslaw K. Wojciechowski
(Siehe online unter https://doi.org/10.1112/jlms/jdt029) - Harmonic functions of general graph Laplacians. Calc. Var. Partial Differential Equations, 51(1-2):343– 362, 2014
Bobo Hua and Matthias Keller
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00526-013-0677-6) - Cheeger inequalities for unbounded graph Laplacians. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 17(2):259–271, 2015
Frank Bauer, Matthias Keller, and Radoslaw K. Wojciechowski
(Siehe online unter https://doi.org/10.4171/JEMS/503) - Diffusion determines the recurrent graph. Adv. Math., 269:364–398, 2015
Matthias Keller, Daniel Lenz, Marcel Schmidt, and Melchior Wirth
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.003) - Eigenvalue asymptotics for Schrödinger operators on sparse graphs. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 65(5):1969–1998, 2015
Michel Bonnefont, Sylvain Gol´nia, and Matthias Keller
(Siehe online unter https://doi.org/10.5802/aif.2979) - Graphs of finite measure. J. Math. Pures Appl. (9), 103(5):1093–1131, 2015
Agelos Georgakopoulos, Sebastian Haeseler, Matthias Keller, Daniel Lenz, and Radoslaw K. Wojciechowski
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.matpur.2014.10.006) - A Feynman–Kac–Ito formula for magnetic Schrödinger operators on graphs. Probab. Theory Related Fields, 165(1-2):365–399, 2016
Batu Güneysu, Matthias Keller, and Marcel Schmidt
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00440-015-0633-9) - General Cheeger inequalities for p-Laplacians on graphs. Nonlinear Anal., 147:80–95, 2016
Matthias Keller and Delio Mugnolo
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.na.2016.07.011) - Note on short-time behavior of semigroups associated to self-adjoint operators. Bull. Lond. Math. Soc., 48(6):935– 944, 2016
Matthias Keller, Daniel Lenz, Florentin Münch, Marcel Schmidt, and Andras Telcs
(Siehe online unter https://doi.org/10.1112/blms/bdw054) - Global properties of Dirichlet forms in terms of Green’s formula. Calc. Var. Partial Differential Equations, 56(5):Art. 124, 43, 2017
Sebastian Haeseler, Matthias Keller, Daniel Lenz, Jun Masamune, and Marcel Schmidt
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00526-017-1216-7) - Remarks on curvature dimension conditions on graphs. Calc. Var. Partial Differential Equations, 56(1):Paper No. 11, 8, 2017
Florentin Muench
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00526-016-1104-6) - Sectional curvature of polygonal complexes with planar substructures. Adv. Math., 307:1070–1107, 2017
Matthias Keller, Norbert Peyerimhoff, and Felix Pogorzelski
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.10.027) - Bakry-Emery curvature and diameter bounds on graphs. Calc. Var. Partial Differential Equations, 57(2):Paper No. 67, 9, 2018
Shiping Liu, Florentin Münch, and Norbert Peyerimhoff
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00526-018-1334-x) - Li-Yau inequality on finite graphs via non-linear curvature dimension conditions. J. Math. Pures Appl. (9), 120:130– 164, 2018
Florentin Muench
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.matpur.2018.10.006) - Curvature and higher order Buser inequalities for the graph connection Laplacian. SIAM J. Discrete Math., 33(1):257–305, 2019
Shiping Liu, Florentin Münch, and Norbert Peyerimhoff
(Siehe online unter https://doi.org/10.1137/16M1056353)
