Geometry of discrete spaces and spectral theory of non-local operators
Final Report Abstract
Die geometrischen und analytischen Untersuchungen zu diskreten Räumen und nicht-lokalen Operatoren im Rahmen des Projekts haben sich als sehr fruchtbar erwiesen. Dies führte an vielen Stellen zu einem strukturelleren Verständnis der zugrundeliegenden Geometrie dieser Räume und ihres Einflusses auf Spektraltheorie der induzierten Laplaceoperatoren, auf Lösungen der Wärmeleitungsgleichung sowie auf selbstadjungierte Erweiterungen dieser Operatoren. Dabei wurde Geometrie sowohl mittels Krümmung als auch mittels intrinsischer Metriken gefasst. Die Untersuchungen zu diskreter Krümmung in diesem Projekt betten sich ein in ein anhaltend aktives Forschungsfeld und haben zu dessen Fortschritt beigetragen. Die Ergebnisse zu intrischen Metriken waren durch eine Vielzahl von überraschenden Phänomenen motiviert, welche ein scheinbares Auseinanderklaffen der Theorie von kontinuierlichen und diskreten Räumen suggerierten. Durch diese Metriken konnten diese Phänomene nicht nur erklärt werden, sondern auch die Theorie kontinuierlicher und diskreter Räume an wichtigen Stellen vereinheitlicht werden. In diesem Sinne kann man hier sogar von einer abschließenden Behandlung entsprechender Fragen sprechen. Durch verschiedene Ergebnisse gelang es den großen Bogen zur Theorie der regulären Dirichletformen zu spannen. Die im Projekt formulierten Fragestellungen haben sich als überaus interessant, relevant und wegweisend erwiesen. An dem Projekt war eine Vielzahl von Personen beteiligt und die in dem Projekt bearbeiteten Themen haben sich zu einem zentralen Kern der Aktivitäten der beiden Antragsteller und ihrer Arbeitsgruppen entwickelt. Dadurch gewann das Projekt eine über die konkret erzielten Ergebnisse hinausgehende bemerkenswerte Breitenwirkung.
Publications
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Sebastian Haeseler, Matthias Keller, Daniel Lenz, Jun Masamune, and Marcel Schmidt
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Shiping Liu, Florentin Münch, and Norbert Peyerimhoff
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Shiping Liu, Florentin Münch, and Norbert Peyerimhoff
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