Geometry of discrete spaces and spectral theory of non-local operators

• Applicant: Professor Dr. Daniel Lenz
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 224063881

• Final Report Year: 2021

Final Report Abstract

Die geometrischen und analytischen Untersuchungen zu diskreten Räumen und nicht-lokalen Operatoren im Rahmen des Projekts haben sich als sehr fruchtbar erwiesen. Dies führte an vielen Stellen zu einem strukturelleren Verständnis der zugrundeliegenden Geometrie dieser Räume und ihres Einflusses auf Spektraltheorie der induzierten Laplaceoperatoren, auf Lösungen der Wärmeleitungsgleichung sowie auf selbstadjungierte Erweiterungen dieser Operatoren. Dabei wurde Geometrie sowohl mittels Krümmung als auch mittels intrinsischer Metriken gefasst. Die Untersuchungen zu diskreter Krümmung in diesem Projekt betten sich ein in ein anhaltend aktives Forschungsfeld und haben zu dessen Fortschritt beigetragen. Die Ergebnisse zu intrischen Metriken waren durch eine Vielzahl von überraschenden Phänomenen motiviert, welche ein scheinbares Auseinanderklaffen der Theorie von kontinuierlichen und diskreten Räumen suggerierten. Durch diese Metriken konnten diese Phänomene nicht nur erklärt werden, sondern auch die Theorie kontinuierlicher und diskreter Räume an wichtigen Stellen vereinheitlicht werden. In diesem Sinne kann man hier sogar von einer abschließenden Behandlung entsprechender Fragen sprechen. Durch verschiedene Ergebnisse gelang es den großen Bogen zur Theorie der regulären Dirichletformen zu spannen. Die im Projekt formulierten Fragestellungen haben sich als überaus interessant, relevant und wegweisend erwiesen. An dem Projekt war eine Vielzahl von Personen beteiligt und die in dem Projekt bearbeiteten Themen haben sich zu einem zentralen Kern der Aktivitäten der beiden Antragsteller und ihrer Arbeitsgruppen entwickelt. Dadurch gewann das Projekt eine über die konkret erzielten Ergebnisse hinausgehende bemerkenswerte Breitenwirkung.

Publications

• A note on self-adjoint extensions of the Laplacian on weighted graphs. J. Funct. Anal., 265(8):1556–1578, 2013
  Huang, Xueping; Keller, Matthias; Masamune, Jun & Wojciechowski, Radosław K.
  
• Harmonic functions of general graph Laplacians. Calc. Var. Partial Differential Equations, 51(1-2):343– 362, 2014
  Hua, Bobo & Keller, Matthias
  
• On the lp spectrum of Laplacians on graphs. Adv. Math., 248:717–735, 2013
  Bauer, Frank; Hua, Bobo & Keller, Matthias
  
• Spectral analysis of certain spherically homogeneous graphs. Oper. Matrices, 7(4):825–847, 2013
  Breuer, Jonathan & Keller, Matthias
  
• Volume growth and bounds for the essential spectrum for Dirichlet forms. J. Lond. Math. Soc. (2), 88(3):883–898, 2013
  Haeseler, Sebastian; Keller, Matthias & Wojciechowski, Radosław K.
  
• A Feynman–Kac–Ito formula for magnetic Schrödinger operators on graphs. Probab. Theory Related Fields, 165(1-2):365–399, 2016
  Güneysu, Batu; Keller, Matthias & Schmidt, Marcel
  
• Cheeger inequalities for unbounded graph Laplacians. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 17(2):259–271, 2015
  Bauer, Frank; Keller, Matthias & Wojciechowski, Radosław K.
  
• Diffusion determines the recurrent graph. Adv. Math., 269:364–398, 2015
  Keller, Matthias; Lenz, Daniel; Schmidt, Marcel & Wirth, Melchior
  
• Eigenvalue asymptotics for Schrödinger operators on sparse graphs. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 65(5):1969–1998, 2015
  Bonnefont, Michel; Golénia, Sylvain & Keller, Matthias
  
• Graphs of finite measure. J. Math. Pures Appl. (9), 103(5):1093–1131, 2015
  Georgakopoulos, Agelos; Haeseler, Sebastian; Keller, Matthias; Lenz, Daniel & Wojciechowski, Radosław K.
  
• General Cheeger inequalities for p-Laplacians on graphs. Nonlinear Anal., 147:80–95, 2016
  Keller, Matthias & Mugnolo, Delio
  
• Note on short-time behavior of semigroups associated to self-adjoint operators. Bull. Lond. Math. Soc., 48(6):935– 944, 2016
  Keller, Matthias; Lenz, Daniel; Münch, Florentin; Schmidt, Marcel & Telcs, András
  
• Global properties of Dirichlet forms in terms of Green’s formula. Calc. Var. Partial Differential Equations, 56(5):Art. 124, 43, 2017
  Haeseler, Sebastian; Keller, Matthias; Lenz, Daniel; Masamune, Jun & Schmidt, Marcel
  
• Remarks on curvature dimension conditions on graphs. Calc. Var. Partial Differential Equations, 56(1):Paper No. 11, 8, 2017
  Münch, Florentin
  
• Sectional curvature of polygonal complexes with planar substructures. Adv. Math., 307:1070–1107, 2017
  Keller, Matthias; Peyerimhoff, Norbert & Pogorzelski, Felix
  
• Bakry-Emery curvature and diameter bounds on graphs. Calc. Var. Partial Differential Equations, 57(2):Paper No. 67, 9, 2018
  Liu, Shiping; Münch, Florentin & Peyerimhoff, Norbert
  
• Li-Yau inequality on finite graphs via non-linear curvature dimension conditions. J. Math. Pures Appl. (9), 120:130– 164, 2018
  Münch, Florentin
  
• Curvature and higher order Buser inequalities for the graph connection Laplacian. SIAM J. Discrete Math., 33(1):257–305, 2019
  Liu, Shiping; Münch, Florentin & Peyerimhoff, Norbert