Numerische Untersuchung der Dictionary-basierten Regularisierung für inverse Probleme und Approximationsprobleme auf Sphäre und Kugel - mit Anwendungen auf seismische Tomographie und hochdimensionale geophysikalische Modellierung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In den Neurowissenschaften werden nicht-invasive Methoden zur Erforschung des menschlichen Gehirns eingesetzt. Dabei werden Hirnströme anhand ihrer messbaren Wirkung außerhalb des Schädels rekonstruiert, um Aussagen über die Aktivität und Verbindung von Hirnregionen zu erhalten. Messbar sind Änderungen im elektrischen Potential auf der Kopfhaut (Elektroenzephalographie, EEG) und im magnetischen Feld auÿerhalb des Kopfes (Magnetoenzephalographie, MEG). Die Rekonstruktion des Hirnstroms aus MEG- und EEG-Daten ist ein schlecht gestelltes inverses Problem, da bestimmte Anteile des Stroms für beide Messmethoden nicht sichtbar sind und bereits kleine Störungen in den Daten große Änderungen im rekonstruierten Strom bedeuten können. Um trotzdem brauchbare Rekonstruktionen zu erhalten, haben wir die beiden Probleme näher theoretisch untersucht und numerische Verfahren zur stabilen Lösung entwickelt. Hierzu modellieren wir zunächst das Hirn als Vollkugel und die umliegenden Gewebeschichten als Kugelschalen. Die Effekte des neuronalen Stroms auf die Messinstrumente lassen sich nun mittels einer Integralgleichung beschreiben. Wir haben das Problem analysiert und die Anteile des Stroms ermittelt, die von den Sensoren nicht erfasst werden können. Dabei konnten wir im Detail beschreiben, dass durch MEG und EEG komplementäre Anteile des Stroms rekonstruiert werden können. In einer gemeinsamen Rekonstruktion aus MEG- und EEG-Daten können also nicht mehr Informationen über den Strom gewonnen werden als durch das Zusammenfügen der einzelnen unabhängigen Rekonstruktionen. Nach der analytischen Betrachtung des Problems entwickelten wir numerische Verfahren, um aus gegebenen Daten den Strom zurückzurechnen. Hierbei setzten wir den Regularized Functional Matching Pursuit (RFMP) ein, der den Strom schrittweise approximiert. Ausgehend von der aktuellen Approximation wird darin in jedem Schritt aus einer Menge an Ansatzfunktionen (Dictionary) diejenige ausgewählt, deren Hinzufügen den Fehler zwischen simulierten und gemessenen Daten am meisten reduziert. Dabei wird auch darauf geachtet, dass der approximierte Strom nicht völlig beliebig ist, um kleine Störungen in den Daten auszugleichen. Der RFMP hat den Vorteil, dass durch ein geeignetes Dictionary mit globalen und lokalen Ansatzfunktionen zunächst grobe Trends und danach feinere Merkmale des Stroms rekonstruiert werden können. Durch die Freiheiten bei der Zusammenstellung der Ansatzfunktionen können so die Vorteile verschiedener anderer Verfahren kombiniert werden. Wir verglichen die Ergebnisse des RFMP und einer seiner Weiterentwicklungen anhand künstlich erzeugter Daten mit anderen Rekonstruktionsverfahren und kamen zu dem Schluss, dass die RFMP-Typ-Verfahren die besten Rekonstruktionen liefern, aber auch die längste Rechenzeit benötigen. Schließlich haben wir die entwickelten Verfahren auf einen echten Datensatz unseres Kooperationspartners in Cambridge (UK) angewendet. Die rekonstruierten Ströme erfüllen alle physiologischen Erwartungen und passen von ihrer Lokalisierung zu den gegebenen Daten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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On the null space of a class of Fredholm integral equations of the first kind. In: J. Inverse Ill-Posed Probl. 24 (2016), 687-710
V. Michel und S. Orzlowski
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On the convergence theorem for the regularized functional matching pursuit (RFMP) algorithm. In: Int. J. Geomath. 8 (2017), 183-190
V. Michel und S. Orzlowski
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On the non-uniqueness of gravitational and magnetic eld data inversion (survey article). In: Handbook of Mathematical Geodesy. Hrsg. von W. Freeden und M. Z. Nashed. Basel: Birkhäuser, 2018, 883-919
S. Leweke, V. Michel und R. Telschow
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The Inverse Magneto-electroencephalography Problem for the Spherical Multipleshell Model-Theoretical Investigations and Numerical Aspects. Diss. Universität Siegen, Department Mathematik, AG Geomathematik, 2018
S. Leweke
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Vectorial Slepian functions on the ball. In: Numer. Func. Anal. Opt. 39 (2018), 1120-1152
S. Leweke, V. Michel und N. Schneider
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Electro-magnetoencephalography for a spherical multipleshell model: novel integral operators with singular-value decompositions. In: Inverse Probl. 36 (2020), 035003
S. Leweke, V. Michel und A. S. Fokas
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Vector-valued spline method for the spherical multiple-shell electro-magnetoencephalography problem. In: Inverse Probl. 38 (2022), 085001
S. Leweke, O. Hauk und V. Michel
