Numerische Untersuchung der Dictionary-basierten Regularisierung für inverse Probleme und Approximationsprobleme auf Sphäre und Kugel - mit Anwendungen auf seismische Tomographie und hochdimensionale geophysikalische Modellierung

• Antragsteller: Professor Dr. Volker Michel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 226407518

In dem bisherigen Projektverlauf wurden zwei Algorithmen, die von der AG Geomathematik Siegen stammen, für die Rekonstruktion von Hirnströmen aus Daten der Elektroenzephalografie (EEG) und der Magnetoenzephalografie (MEG) weiterentwickelt. Die Verfahren, der Regularized Functional Matching Pursuit (RFMP) und der Regularized Orthogonal Functional Matching Pursuit (ROFMP), konstruieren iterativ eine Art "beste Basis", um hierin eine Näherungslösung zu berechnen, die stabil (also nur leicht anfällig für Rauschen auf den Daten) ist und die die Vorteile verschiedener Typen von Ansatzfunktionen vereint. So können z.B. grobe, globale Strukturen mit Orthogonalpolynomen dargestellt werden, während die Feinstrukturen durch die Kombination mit lokalisierten Basisfunktionen wie Splines oder Wavelets in einer Multiskalen-Struktur aufgelöst werden.Ferner wurden im Rahmen des Projekts neue Ergebnisse für die mathematische Modellierung der betreffenen inversen Probleme hergeleitet, die u.a. weitere Auskunft über mögliche Phantome (Artefakte) in der Lösung geben können.Die Erfahrungen, die im bisherigen Projekt gewonnen wurden, sollen benutzt werden, um ein besonders herausforderndes inverses Problem der Geophysik, die seismische Laufzeittomographie, zu lösen. Hierbei geht es darum, aus den Laufzeiten von Erdbebenwellen ein Geschwindigkeitsmodell der Erde bzw. von Regionen der Erde zu berechnen. Solche Modelle bilden eine wichtige Grundlage für die Erkundung von Strukturen im Erdinneren. Es gibt bisher verschiedene numerische Methoden, mit denen das inverse Problem gelöst wird, so dass ein Verfahren wie RFMP und ROFMP geeignet ist, solche Ansätze miteinander vereinen bzw. vergleichen zu können. Dies ist insbesondere auch interessant, weil die Identifikation von Artekaften in seismischen Geschwindigkeitsmodellen sehr schwierig ist. RFMP und ROFMP erlauben es, unterschiedlich zusammengesetzte Basissysteme und andere Konstellationen zu testen, um dann übereinstimmende und sich unterscheidene Strukturen in der Lösung zu untersuchen.Um jedoch diese geplanten Experimente durchzuführen, müssen zunächst verschiedene Entwicklungen im Bereich der Numerischen Analysis und des Wissenschaftlichen Rechnens durchgeführt werden. So stellt die in der Geophysik übliche Größe von Datenmengen eine neue Herausforderung, im Vergleich zu MEG- und EEG-Daten, dar. Außerdem ist keine Singulärwertzerlegung für das seismische inverse Probleme bekannt, während solche im bisherigen Projekt bekannt waren bzw. hergeleitet werden konnten. Verschiedene weitere mathematische Detailfragen, wie z.B. die effiziente numerische Integration von Speziellen Funktionen längs Kurven im Raum, müssen ferner beantwortet werden.Ein Ziel des Projekts ist ferner, die praktische An- und Verwendbarkeit der Verfahren zu verbessern. Hierfür soll die entwickelte Software frei verfügbar gemacht werden. Außerdem soll, als weitere Anwendung, eine hochauflösende Gravitationsfeldmodellierung demonstriert werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Kooperationspartnerin: Professorin Dr. Karin Sigloch