h-projektiv äquivalente Metriken

• Antragsteller: Professor Dr. Vladimir Matveev
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 226608726

Zwei Kähler Metriken auf einer komplexen Mannigfaltigkeit sind h-projektiv äquivalent, wenn sie die gleichen h-planaren Kurven haben. Diese Kurven sind definiert durch die Bedingung, dass die Beschleunigung in jedem Punkt komplex-proportional zur Geschwindigkeit ist. Die Theorie von h-projektiv äquivalenten Metriken wurde in den fünfziger Jahren eingeführt und ist für eine Zeit ein aktives Forschungsfeld gewesen. Vor kurzen wurden neue, lokale und globale Methoden entwickelt, die sich für die Untersuchung von h-projektiv äquivalenten Metriken als sehr nützlich erwiesen haben. Die lokalen Methoden kommen aus der so genannten parabolischen Geometrie, die ein aktueller und hoch-populärer Zweig der Cartanschen Geometrie ist.Die globalen Methoden kommen u.a. aus der Theorie integrabler Systeme. Die geodätischen Flüsse von (nicht-trivial) h-projektiv äquivalenten Metriken sind Liouville-integrabel. Man kann diese Eigenschaft benutzen, um topologische Obstruktionen für die Existenz von h-projektiv äquivalenten Metriken auf kompakten oder vollständigen Mannigfaltigkeiten zu erhalten. Umgekehrt kann man die h-projektiv äquivalenten Metriken benutzen, um neue interessante Beispiele von integrablen Systemen zu konstruieren und zu untersuchen.Vor kurzem (in 2011) hat sich herausgestellt, dass h-projektiv äquivalente Metriken unter dem Namen „Hamiltonsche 2-Formen'' eingeführt und untersucht wurden. Die dabei verwendeten (lokalen und globalen) Methoden, kamen aus der symplektischen, Kähler und torischen Geometrie. Mit diesen drei Gruppen von Methoden wollen wir die lokale und globale Theorie von h-projektiv äquivalenten Metriken und h-projektiven Transformationen weiterentwickeln. Insbesondere sollen die folgenden natürlichen Fragen und Vermutungen beantwortet werden. 1. Normalformen: Man finde die lokalen Normalformen für h-projektiv äquivalente Metriken.2. Man finde Differentialinvarianten (d.h. invariante algebraische Ausdrücke in den Komponenten der Metrik und ihren Ableitungen), welche genau dann verschwinden wenn die Metrik nicht-triviale h-projektive Äquivalenz erlaubt.3.Liesches Problem: Finde alle lokalen Metriken, die eine nicht-triviale Pseudogruppe von h-projektiven Transformationen besitzen.4.Beweise oder widerlege die schwache topologische Vermutung: Eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit zwei vollständigen nicht-trivial h-projektiv äquivalenten Metriken hat eine endliche Fundamentalgruppe. 5.Beweise oder widerlege die starke topologische Vermutung: Eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit zwei vollständigen nicht-trivial h-projektiv äquivalenten Metriken kann man in ein Produkt von komplex-projektiven Räumen und flachen Raum zerlegen. 6. Beschreibe alle Paare von Einstein (Bochner-flach, Calabi-extremal) h-projektiv äquivalenten Metriken auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen