Torische und tropische Methoden in der Algebraischen Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Klaus Altmann; Professor Dr. Jürgen Hausen
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 227923852

• Erstellungsjahr: 2018

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Leitfaden des Projektes war es, neue torische und tropische Methoden im Rahmen der drei Teilprojekte „Mori dream spaces“, „Quotienten für algebraische Gruppenoperationen“ und „Fano-Varietäten“ zu entwickeln und zur Anwendung zu bringen. Im Teilprojekt „Mori dream spaces" haben wir uns mit konstruktiver globaler Singularitätenauflösung befasst. Das Ergebnis bildet die Basis für die kombinatorische Beschreibung verschiedener Singularitätentypen des Mori-Programmes für Fano-Varietaten mit Torusoperation der Komplexität Eins durch den neu eingeführten antikanonischen Komplex. Dies ermöglicht im Teilprojekt „Fano-Varietäten“ die Klassifikation aller Q-faktoriellen terminalen dreidimensionalen Fano-Varietäten mit einer effektiven Operation eines zweidimensionalen Torus in der Picardzahl Eins und, allgemeiner, im kombinatorisch minimalen Fall. Weiter erhalten wir in Teilprojekt „Fano-Varietäten“ vollständige Klassifikationen aller glatten Fanovarietäten X der Picardzahl höchstens zwei, falls X eine Torusoperation der Komplexität Eins besitzt oder einen Cox-Ring, der durch eine rein quadratische Gleichung definiert wird. Ergebnisse im Teilprojekt „Quotienten für algebraische Gruppenoperationen“ sind zum einen die Festtellung, dass der Modulraum M0,n für n = 10,11,12 kein Mori dream space ist und zum anderen die Konstruktion einer kanonischen Kompaktifizierung des Raumes aller Konfigurationen von n Punkten auf der projektiven Geraden modulo Translation.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• On intrinsic quadrics
  Anne Fahrner, Jürgen Hausen
  
• Negative deformations of toric singularities that are smooth in codimension two. In: Deformations of surface singularities, Seiten 13–55. Berlin: Springer; Budapest: János Bolyai Mathematical Society, 2013
  Klaus Altmann, Lars Kastner
  
• Smooth projective varieties with a torus action of complexity 1 and Picard number 2. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 41 Seiten
  Anne Fahrner, Jürgen Hausen, Michele Nicolussi
  
• Point configurations and translations. Manuscripta Math. 146 (2015), no. 1–2, 235–263
  Hendrik Bäker
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00229-014-0692-8)
• On terminal Fano 3-folds with 2-torus action. Int. Math. Res. Not. IMRN 2016, no. 5, 1563–1602 und Corrigendum IMRN 2017, no. 19, 6086–6087
  Benjamin Bechtold, Jürgen Hausen, Elaine Huggenberger, Michele Nicolussi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1093/imrn/rnv190)
• On blowing up the weighted projective plane. Math. Z., 19 Seiten
  Jürgen Hausen, Simon Keicher, Antonio Laface
  
• On Terminal Fano Varieties with a Torus Action of Complexity One. Dissertation, Universität Tübingen, 2017
  Michele Nicolussi