Gitterfreie Verfahren zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen in der Strömungsdynamik

• Antragsteller: Professor Dr. Holger Wendland
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 228396809

Gitterfreie Diskretisierungsverfahren stellen eine moderne Alternative zu klassischen, gitterbasierten Verfahren bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen dar. Im Gegensatz zu diesen Verfahren entfällt bei gitterfreien Verfahren der zeitaufwendige Schritt der Gittergenerierung. In diesem Projekt soll ein neues, gitterfreies Diskretisierungsverfahren hoher Ordnung für bestimmte partielle Differentialgleichungen der klassischen Strömungsdynamik entwickelt, untersucht und implementiert werden. Das vorgeschlagene Verfahren beruht auf Diskretisierungen mit radialen Basisfunktionen und unterscheidet sich auf folgende Weise signifikant von bisherigen, klassischen Ansätzen. Für inkompressible Strömungen wird es analytisch divergenzfreie Ansatzräume verwenden. Es wird simultaneApproximationen für Geschwindigkeit und Druck berechnen, so dassweder Splitting Verfahren noch inf-sup Bedingungen noch zusätzliche Berechnungen notwendig sind. Schließlich verzichtet es vollständig auf numerische Integration und erlaubt eine flexible Handhabung bei zeitabhängigen Änderungen der zugrunde liegenden Geometrie.In diesem Projekt soll neben einer rigorosen, mathematischen Analyseauch untersucht werden, inwiefern die hier vorgeschlagene Methodeeine relevante Einsparung von Rechenresourcen erlaubt. Ferner soll nachgewiesenwerden, dass das Verfahren einen neuen, einfachen Zugang und damit einesignifikante Verbesserung bei der Analyse strömungsrelevanterGrößen liefert. Auch wenn der Schwerpunkt auf strömungsdynamischen Anwendungen liegt,lässt sich das Verfahren nach geeigneter Modifikation auch auf andere Anwendungsbereiche, wie z.B. die Modellierung von Optionspreisen inder Finanzwirtschaft und die Modellierung von Krebswachstum in denLebenswissenschaften anwenden. Schwerpunkte dieses Fortsetzungsantrages sind die Erweiterung der mathematischen Fehler- und Stabilitätsabschätzungen auf allgemeine Randdaten, die Entwicklung einer Theorie für bedingt positiv definite Kerne und die Entwicklung, Implementierung und Analyse effizienter, numerischer Algorithmen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen