Invariant symplectic structures and metrics on Lie groups
Final Report Abstract
Die ersten beiden Teilprojekte liefern einen Beitrag zur Klassifikation von symplektischen Lie-Algebren. Für zwei große Klassen von symplektischen Lie-Algebren wird eine strukturelle Beschreibung der Isomorphieklassen entwickelt, die eine systematische Herangehensweise an das Klassifikationsproblem erlaubt. Dazu wird einer symplektischen Lie-Algebra auf kanonische Weise die Struktur einer quadratischen Erweiterung gegeben, Äquivalenzklassen solcher Erweiterungen werden durch eine geeignete Kohomologie beschrieben. Im ersten Teil werden symplektische Lie-Algebren untersucht, die neben einer symplektischen Struktur ein (indefinites) ad-invariantes Skalarprodukt besitzen. Diese nennt man metrische symplektische Lie-Algebren. Hier korrespondiert die symplektische Form zu einer invertierbaren antisymmetrischen Derivation. Dieser Teil des Projektes baut auf der entwickelten Strukturtheorie von metrischen Lie-Algebren auf, die mit einer halbeinfachen Derivation ausgestattet sind. Die hier auftretende invertierbare antisymmetrische Derivation muss allerdings nicht halbeinfach sein. Ferner wird eine Verallgemeinerung der Strukturtheorie für metrische Lie-Algebren mit Derivation entwickelt, die auch nicht-halbeinfache Derivationen zulässt und eine entsprechende beschreibende Kohomologie gefunden. Um die Anwendung dieser Strukturtheorie zu demonstrieren, werden z.B. die metrischen symplektischen Lie-Algebren der Dimension ≤ 8 und die, für die das Skalarprodukt einen Index ≤ 3 hat, klassifiziert. Das zweite Teilprojekt beschäftigt sich mit symplektischen Lie-Algebren, die ein ausgeartetes Zentrum besitzen. Dabei wird der Begriff einer quadratischen Erweiterung für symplektische Lie-Algebren eingeführt und gezeigt, dass jede symplektische Lie-Algebra mit ausgeartetem Zentrum auf kanonische Weise die Struktur einer ausgewogenen quadratischen Erweiterung besitzt. Auch für diese Erweiterungen wird eine kohomologische Beschreibung entwickelt. Dies liefert insbesondere eine (kanonische) rekursive Beschreibung aller nilpotenten symplektischen Lie-Algebren. Im dritten Teilprojekt war ursprünglich geplant, kompakte Quotienten von symplektischen Lie-Gruppen zu untersuchen. Auch hier sollten bekannte Resultate aus dem metrischen Fall benutzt werden. Hier stellte sich dann aber heraus, dass einige klassische Resultate für invariante metrische Strukturen fehlerhaft sind. Deshalb haben wir uns in hier zunächst auf den rein metrischen Fall konzentriert. Mathias Fischer hat Gitter in Oszillatorgruppen klassifiziert. Wir haben zudem die Existenz von kompakten Quotienten für Cahen-Wallach-Räume untersucht. Cahen-Wallach-Räume sind unzerlegbare symmetrische Lorentz-Mannigfaltigkeiten nicht-konstanter Schnittkrümmung. Die Isometrieklassen solcher Räume werden durch eine stetige Familie von reellen Parametern beschrieben. Wir leiten notwendige und hinreichende Bedingungen an diese Parameter für die Existenz von kompakten Quotienten her.
Publications
- Metric symplectic Lie algebras
Fischer M.
- Symplectic Lie algebras with degenerate center
Fischer M.
- Symplektische Lie-Algebren und quadratische Erweiterungen Dissertation, Universität Greifswald (2016)
Fischer M.
- Compact quotients of Cahen-Wallach spaces, in Memoirs of the AMS
Kath, I., Olbrich M.
