H²-Matrix-Vorkonditionierer für Integral- und elliptische partielle Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Steffen Börm
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 229645647

In den vergangenen Jahren hat sich gezeigt, dass die Technik der H-Matrizen es ermöglicht, sehr effiziente Lösungsverfahren sowohl für elliptische partielle Differentialgleichungen als auch für Randintegralgleichungen zu konstruieren. Dieser Ansatz erweist sich beispielsweise als besonders robust bei der Behandlung von Differentialgleichungen mit unstetigen oder anisotropen Koeffizienten, die bei der Simulation von Verbundmaterialien verwendet werden. Eine H-Matrix wird in der Regel durch O(n k log n) Daten beschrieben, wobei n die Problemdimension bezeichnet und k von der Konditionszahl des Gleichungssystems und der gewünschten Güte der Approximation der Lösung abhängt.H²-Matrizen kombinieren die H-Matrix-Technik mit Multilevel-Strukturen, um den Speicherbedarf auf O(n k) zu reduzieren und so die Behandlung wesentlich größerer Systeme zu ermöglichen. In praktischen Experimenten zeigt sich, dass H²-Matrix-Löser in der Tat deutlich weniger Speicher als ihre H-Matrix-Gegenstücke benötigen, allerdings sind die Rechenzeiten für die Konstruktion des Lösers mit den derzeit existierenden Algorithmen oft höher als bei H-Matrizen.Ziel des vorgeschlagenen Forschungsvorhabens ist es, ein neues Verfahren für die Konstruktion von H²-Matrix-Lösern zu entwickeln. Entscheidendes Hilfsmittel ist dabei ein neuer Algorithmus, der es ermöglicht, lokale Niedrigrang-Updates einer H²-Matrix mit linearer, d.h. optimaler, Komplexität durchzuführen. Dieser flexible neue Algorithmus kann verwendet werden, um Vorkonditionierer, und damit Lösungsverfahren, für Differential- und Integralgleichungen wesentlich effizienter als bisher zu konstruieren, und es ist zu erwarten, dass er auch den Weg für weitere effiziente Verfahren für die Durchführung verschiedener arithmetischer Operationen in der Menge der H²-Matrizen bereiten wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen