Regularisierung von Selbstfaltungsgleichungen und anderen schlecht-gestellten Problemen von quadratischer Struktur mit Anwendungen in der Laseroptik

• Antragsteller: Professor Dr. Jens Flemming
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 230414508

In den zurückliegenden Jahren beschleunigte sich die Entwicklung der Regularisierungstheorie for nichtlineare schlecht-gestellte Operatorgleichungen in Hilbert- und Banach-Räumen aufgrund zahlreicher Veröffentlichungen auf diesem Gebiet. In dem Projekt befassen wir uns mit nichtlinearen Operatoren, die eine quadratische Struktur aufweisen. Wichtige Beispiele sind Selbstfaltungsgleichungen, welche vor allem in der Spektroskopie und in der Stochastik auftreten, und punktweise quadrierte lineare Operatoren wie sie zum Beispiel der Schlieren-Tomografie zugrundeliegen. Forschungsarbeiten zu nichtlinearen schlecht-gestellten Gleichungen verfolgen bis in die jüngste Zeit Linearisierungsansätze. Aufgrund gewisser Beschränkungen solcher Linearisierungszugänge planen wir die Entwicklung ableitungsfreier Techniken, welche es ermöglichen quadratische Probleme mit ähnlichen Werkzeugen zu behandeln wie man sie von linearen Gleichungen kennt.Eine neue komplexwertige und kernbasierte Version der Selbstfaltung wurde kürzlich durch die Forschungsgruppe 'Solid State Light Sources' des Max Born Instituts für Nichtlineare Optik und Kurzzeitspektroskopie, Berlin, im Kontext eines neuen Ansatzes zur Charakterisierung ultrakurzer Laserpulse (Self-Diffraction SPIDER) vorgestellt. Die mit einem gemeinsamen Diplomprojekt 2011 begonnene Kooperation zwischen Berlin und Chemnitz brachte bereits erste vielversprechende Ansätze und zahlreiche offene mathematische Fragen hervor. Das grundlegende Ziel des Projekts ist die Entwicklung von Algorithmen zur numerischen Lösung des beim SD-SPIDER-Verfahren auftretenden Selbstfaltungsproblems und ihr Test auf der Grundlage realer Messdaten.Auf dem Weg zu effizienten Algorithmen für Selbstfaltungs- und andere quadratische Probleme müssen verschiedene theoretische Fragen beantwortet werden. Von großem Interesse ist die Stärke der Schlechtgestelltheit der betrachteten Probleme. Hier muss eine sinnvolle Definition von (lokaler) Inkorrektheit gefunden werden. Existierende auf Linearisierungen basierende Begriffe enthalten nicht genügend oder sogar irreführende Informationen. Weitere Fragen betreffen Konvergenzraten und Sättigungseigenschaften von Regularisierungsverfahren, da bis jetzt variationelle Glattheitsannahmen (auch als Variationsungleichungen bezeichnet) die einzige ableitungsfreie Technik zum Erhalt von Fehlerschranken bei Regularisierungsverfahren sind. Daher ist das Verständnis solcher Glattheitsannahmen im Falle quadratischer Operatoren von besonderem Interesse. Jedoch sollten zur weiteren Entwicklung von Algorithmen und der Theorie zur Lösung quadratischer Probleme auch neue und verfeinerte Techniken entwickelt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Kooperationspartner: Professor Dr. Günter Steinmeyer