Starke Maximum- und Vergleichsprinzipien für degenerierte und singuläre parabolische Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Takác
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 230454270

• Erstellungsjahr: 2017

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Forschungsprojekt hat sich mit der Entwicklung und den Anwendungen der qualitativen Methoden für partielle Differentialgleichungen, der nichtlinearen Funktionalanalysis, der Variationsrechnung und dynamischer Systeme auf die offenen Probleme der Gültigkeit schwacher und starker Maximum- und Vergleichsprinzipien für degenerierte und singuläre quasilineare parabolische Differentialgleichungen beschäftigt. Das schwache und starke Vergleichsprinzip für zwei Lösungen u, v : Ω×(0, T ) → R einer parabolischen Randwertaufgabe mit dem p-Laplaceoperator ∆p und der Anfangsbedingung u(x, 0) ≤ v(x, 0) in Ω ⊂ RN hat sich bereits am Anfang als zu komplex erwiesen: unter nur gering unterschiedlichen Voraussetzungen waren die Ergebnisse sehr unterschiedlich. Daher haben wir uns zuerst auf den “einfacheren” Fall des schwachen und starken Maximumprinzips für zwei Lösungen u, v ≡ 0 : Ω × (0, T ) → R mit der Anfangsbedingung u(x, 0) ≡ 0 ≤ v(x, 0) in Ω ⊂ R N konzentriert. In diesem Fall wurde eine nichtnegative Lösung konstruiert, welche den Anfangswert (in der Zeit t = 0) identisch gleich Null hat und danach (in der Zeit t ∈ (0, T )) einen räumlich kompaktem Träger mit einer vorgeschriebenen Anzahl von Zusammengangskomponenten in Ω besitzt. Dies galt für den Fall der degenerierten (schwachen) Diffusion 2 < p < ∞. Dagegen wurde für den Fall der singulären (starken) Diffusion 1 < p < 2 praktisch das starke Maximumprinzip bewiesen, wie man es für den linearen Laplaceoperator (p = 2) kennt. Für die Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piscounov-Gleichung aus der Populationsgenetik (in einer Raumdimension) wurden Ljapunov-stabile Wanderwellen nachgewiesen, die einen kompakten Lebensraum ausgrenzen, in dem die Vielfalt der Population erhalten bleibt, obwohl sie an jedem festen Ort nach endlicher Zeit verloren geht. Dieses Phänomen tritt dank der nichtglatten Reaktionsfunktion f (u) (in den Punkten u = 0 und u = 1) auf. Für die Populationsgenetik folgt daraus eine wichtige Erkenntnis: genetische Vielfalt soll man nicht nur als statisches (zeitunabhängiges) Phänomen untersuchen, sondern eher als ein dynamisches Phänomen in einem “wandernden” Lebensraum. In dieser Arbeit handelt es sich um zwei konkurrierende Gene. Weiter wurde gezeigt, daß jede Trajektorie, die durch die Fisher-KPP-Gleichung erzeugt wird, gegen eine Wanderwelle konvergiert; wie schnell, das bleibt noch eine offene Frage. Gemeinsame Untersuchungen mehrerer Symmetriefragen wurden in Zusammenarbeit mit Herrn Prof. Dr. Jean-Michel Rakotoson durchgeführt.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A Strong Maximum Principle for parabolic equations with the p-Laplacian, J. Math. Anal. Appl., 419 (2014), 218–230
  V. E. Bobkov and P. Takáć
  
• Front Propagation in Nonlinear Parabolic Equations, Journal of the London Math. Soc., 90(2) (2014), 551– 572
  E. Feireisl, D. Hilhorst, H. Petzeltova, and P. Takáć
  
• Bounded solutions to a quasilinear and singular parabolic equation with p-Laplacian, Nonlinear Analysis, T.M.A., 119 (2015), 254–274
  B. Bougherara, J. Giacomoni, and P. Takáć
  
• Nonuniqueness of solutions of initial value problems for parabolic p-Laplacian, Electronic J. Diff. Equations, 2015(38) (2015), 1–7
  J. Benedikt, V. E. Bobkov, P. Girg, L. Kotrla, and P. Takáć
  
• Singular quasilinear elliptic systems and Hölder regularity, Advances in Differential Equations, 20(3–4) (2015), 259–298
  J. Giacomoni, I. Schindler, and P. Takáć
  
• Mathematical analysis of variable density flows in porous media, J. Evolution Equations, 16(1) (2016), 1–19
  E. Feireisl, D. Hilhorst, H. Petzeltova, and P. Takáć
  
• New patterns of travelling waves in the generalized Fisher-Kolmogorov equation, Nonlinear Differ. Equ. Appl. (NoDEA), 23 (2016), Article 7
  P. Drabek and P. Takac
  
• Nonuniqueness and multi-bump solutions in parabolic problems with the p-Laplacian, J. Differential Equations, 260 (2016), 991–1009
  J. Benedikt, P. Girg, L. Kotrla, and P. Takáć
  
• (2017) On the Heston model with stochastic volatility: analytic solutions and complete markets. 61 S.
  Alziary, Bénédicte; Takáč, Peter
  
• Convergence to travelling waves in Fisher’s population genetics model with a non-Lipschitzian reaction term, J. Math. Biology
  P. Drábek and P. Takáć
  
• The strong maximum principle in parabolic problems with the p-Laplacian in a domain, Appl. Math. Letters, 63 (2017), 95–101
  J. Benedikt, P. Girg, L. Kotrla, and P. Takáć