Gittergenerierung und Mehrgitterverfahren für Spektralelemente-Methoden in gekrümmten Gebieten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Simulation physikalischer und chemischer Prozesse in Strömungen erfordert die numerische Lösung eines Systems von nichtlinearen Differentialgleichungen. Für viele Anwendungen führt dies zu einem enormen Rechenzeitbedarf, der oftmals nicht mit den verfügbaren Ressourcen abgedeckt werden kann. Numerische Methoden hoher Ordnung versprechen ein besseres Kosten-Nutzen-Verhältnis als etablierte Methoden und bieten somit einen Ausweg aus dieser Situation. Von besonderer Bedeutung sind elementbasierte Methoden, die das Berechnungsgebiet in einfache Teilgebiete zerlegen und die Lösung in diesen mithilfe von Polynomen approximieren. Um das bestmögliche Ergebnis zu erzielen, müssen diese Elemente komplexe geometrische Formen mit hoher Genauigkeit wiedergeben. Als Voraussetzung für die Simulation mit einer Methode hoher Ordnung muss deshalb ein konturangepasstes Rechengitter erzeugt werden. Dieses Gitter darf nur geringe Verzerrungen aufweisen, da diese sich unmittelbar in einer Verschlechterung der Rechengenauigkeit niederschlagen. Leider ist die Generierung solcher Gitter sehr schwierig. Das vorliegende DFG-Projekt zielte auf die Entwicklung von Methoden zur Erzeugung krummliniger Gitter hoher Qualität für Ansätze mit beliebigem Polynomgrad. Dafür wurde ein schrittweises Vorgehen gewählt, bei dem aus einem gegebenen Gitter mit geraden Kanten zuerst konturangepasste Oberflächenkurven, danach gekrümmte Oberflächensegmente und schlussendlich Volumenelemente konstruiert werden. Um Verzerrungen zu minimieren sollten die erzeugten Objekte nicht nur an das Rechengebiet angepasst, sondern gleichzeitig in Bezug auf ihre Qualität optimiert werden. Dazu wurden neue Techniken für die Anpassung von Kurven und Flächen entwickelt, die im Rahmen der Methode der kleinsten Quadrate sowohl den Fehler als auch die Deformationsenergie minimieren. Das Problem, dass beide Zielgrößen zu diametralen Forderungen führen, wurde durch eine inkrementelle Strategie überwunden. Dabei wird das Gewicht der Deformationsenergie schrittweise zugunsten der Genauigkeit reduziert. Gleichzeitig werden aber die für die Anpassung verwendeten Oberflächenpunkte energetisch optimiert, sodass die erzeugten Kurven und Flächenelemente nur minimale Verzerrungen aufweisen. Im Vergleich mit aus der Literatur bekannten Verfahren zeichnen sich die hier entwickelten Methoden durch hervorragende Konvergenz und Qualität für beliebig hohe Polynomgrade (bis wenigstens 20) bei strikter Lokalität und folglich relativ niedrigen Kosten aus. Zudem eignen sie sich für unstrukturierte Daten aus bildgebenden Verfahren wie Computertomographie und Magnetresonanztomographie. Für die Generierung von gekrümmten Volumenelementen wurde eine Methode der bewegten Gitter entwickelt. Diese passt ein Startgitter mit linearen oder quadratisch gekrümmten Kanten an ein krummliniges Oberflächengitter an. Dabei minimiert das sogenannte Gleichverteilungsprinzip die unvermeidliche Verzerrung des Startgitters. Die Kosten für die numerische Lösung der Gitterbewegungsgleichung konnten durch die schrittweise Anhebung des Polynomgrades im Rahmen einer kaskadenartigen Multilevel-Strategie erheblich reduziert werden. Die in diesem Projekt entwickelten Techniken bieten eine ausgezeichnete Basis für die Generierung von gekrümmten Gittern in geometrisch komplexen Konfigurationen und bereiten somit den Weg für die Simulation von Strömungen mit Methoden hoher Ordnung in möglichen Folgeprojekten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Energy-minimizing curve fitting for high-order surface mesh generation. Applied Mathematics, 5:3318–3327, 2014
Bock K, Stiller J
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Generation of high-order polynomial patches from scattered data. In Azaïez M, El Fekih H, Hesthaven JS (Hrsg), Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations – ICOSAHOM 2012. Lecture Notes in Computational Science and Engineering 95, 157–167, Springer, 2014
Bock K, Stiller J
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Optimizing high-order surface meshes by energy-minimization. In: Bittencourt ML, Dumont NA, Hesthaven JS (Hrsg), Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations – ICOSAHOM 2016. Lecture Notes in Computational Science and Engineering 119, 121–132, Springer 2017
Bock K, Stiller J
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Optimizing triangular high-order surface meshes by energyminimization. Engineering with Computers, 1–12
Bock K, Stiller J
