Parametrisierung und algebraische Punkte in o-minimalen Strukturen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Margaret E.M. Thomas
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 234252392

Dieses Projekt ist auf eine Vermutung von Wilkie hin ausgerichtet, die im Überschneidungsbereich von Modelltheorie und diophantischer Geometrie liegt. Wilkies Vermutung schlägt eine bedeutende Verbesserung des wegweisenden Satzes von Pila und Wilkie für den Körper der reellen Zahlen mit Exponentialfunktion vor, der die Dichte algebraischer Punkte auf definierbaren Mengen in o-minimalen Strukturen beschränkt. Das Forschungsvorhaben ist auf den zentralen geometrischen Zugang zu Wil-kies Vermutung fokussiert, nämlich die milde Parametrisierung von Mengen, die in o-minimalen Struk-turen definierbar sind.Die Schranke von Pila und Wilkie ist die beste bislang bekannte Schranke für die Dichte algebraischer Punkte in definierbaren Mengen in beliebigen o-minimalen Strukturen. Die Arbeiten von Masser, Pila, Tsimerman und Zannier haben wichtige Konsequenzen dieser Schranke innerhalb der Zahlentheorie gezeigt; so erlaubt die Schranke einen neuen Beweis der Manin-Mumford-Vermutung und den ersten von der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung unabhängigen Beweis bestimmter Fälle der André-Oort-Vermutung. Die Wilkie-Vermutung würde die subpolynomiale Pila-Wilkie-Schranke zu einer logarithmischen Schranke für den (o-minimalen) Körper der reellen Zahlen mit Exponentialfunktion verbessern.Wir befassen uns mit milder Parametrisierung in einigen verwandten Expansionen des Körpers der reellen Zahlen. Die Absicht ist, die Theorie dieser o-minimalen Strukturen voranzubringen und dabei weitere Einblicke in die Wilkie-Vermutung zu erlangen.Ein Ziel ist es, Fortschritte hin zu einer milden Parametrisierung für den Körper der reellen Zahlen mit Exponentialfunktion zu machen. Dies betrifft direkt mehrere Fragen im Umfeld der Wilkie-Vermutung. So würde etwa für Flächen die Vermutung bereits aus einer entsprechenden milden Parametrisierung hervorgehen. Milde Parametrisierung für spezifische definierbare Mengen kann darüberhinaus zu Tranzendenzresultaten führen.Wir betrachten milde Parametrisierung noch in drei weiteren Situationen: Den Expansionen des Körpers der reellen Zahlen (a) um eingeschränkte analytische Funktionen, (b) um bestimmte Gevrey-Funktionen (diese sind mild und treten in dynamischen Systemen auf) und allgemeiner (c) um bestimmte Klassen von Funktionen, deren Keime im Ursprung eine quasianalyti-sche Klasse bilden (dies schafft eine Verbindung zur Theorie der Differentialgleichungen). Ziel ist es in (a), einen Satz von Jones, Miller und Thomas im Detail zu untersuchen, wonach alle definierbaren Mengen in dieser Struktur milde Parametrisierung haben, und Kontrolle über die dabei auftretende Konstante zu gewinnen. Ziel ist es in (b) und (c), mit analogen Methoden (basierend auf Modellvoll-ständigkeitskonstruktionen) zu klären, ob die definierbaren Mengen in diesen Strukturen milde Para-metrisierung zulassen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Portugal
• Beteiligte Personen: Dr. Gareth Jones; Dr. Tamara Servi; Professor Dr. Alex J. Wilkie