Analysis and numerical solution of inverse backsattering problems

• Applicant: Professor Dr. Martin Hanke-Bourgeois
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2006 to 2013
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 23528877

• Final Report Year: 2012

Final Report Abstract

Bei der Impedanztomographie wird die ortsabhängige elektrische Leitfähigkeit im Innern eines beschränkten Gebiets aus Strom-/Spannungsmessungen auf dem Rand des Gebiets rekonstruiert. Verschiedenste Anwendungen aus Medizin und nichtdestruktiven Prüfmethoden führen auf Fragestellungen dieses Typs. Es handelt sich dabei um sogenannte inverse Probleme, die äußerst schlecht gestellt sind, das heißt, dass numerische Lösungsverfahren sehr störungsanfällig auf Datenfehler reagieren. In diesem Projekt werden nur sehr spezielle Strom-/Spannungsmessungen zur Rekonstruktion der Leitfähigkeitsverteilung betrachtet, nämlich solche, die mittels eines einzigen nah aneinander positionierten Elektrodenpaares an unterschiedlichen Stellen des Randes realisiert werden können. Aufgrund der Analogie zu Streuproblemen bezeichnen wir diese Art der Datennahme als Rückstreuung. Mit dieser reduzierten Datenmenge lassen sich die Leitfähigkeiten im Körper nur sehr eingeschränkt bestimmen. Im Fokus des Projekts stehen daher ausschließlich homogene Körper, die Einschlüsse mit abweichender Leitfähigkeit aufweisen. Unsere Untersuchungen beschränken sich auf den zweidimensionalen Fall eines flachen Körpers. Für diese Situation besagt unser Hauptresultat, dass ein einzelner isolierender Einschluss im Körper durch die Rückstreudaten eindeutig bestimmt ist. Der Beweis ist konstruktiv und lässt sich unmittelbar in ein Rekonstruktionsverfahren umsetzen. Die numerischen Ergebnisse bestätigen die Theorie. Interessanterweise gibt es jedoch unterschiedliche perfekt leitende Einschlüsse, die gleiche Rückstreudaten haben. Diese können wir jedoch vollständig charakterisieren. Für einen einzelnen Einschluss mit positiver Leitfähigkeit wissen wir nichts über die Eindeutigkeit der Rückstreudaten, trotzdem können wir Aussagen über die Position dieses Einschlusses machen. Hierzu bedienen wir uns des sogenannten konvexen Rückstreuträgers. Dies ist eine numerisch berechenbare konvexe Menge, welche beweisbar innerhalb der konvexen Hülle des Einschlusses liegt. Numerische Rekonstruktionen zeigen, dass dies wesentliche Informationen über den Einschluss liefert. Abschließend haben wir den Fall mehrerer Einschlüsse mit beliebiger Leitfähigkeit behandelt und das Verhalten der Rückstreudaten bei asymptotisch kleinen (infinitesimalen) Einschlüssen untersucht. Der dominante Term dieser Asymptotik ist eine rationale Funktion in der Ebene, deren Pole die Positionen der Einschlüsse wiedergeben. Darauf aufbauend können wir Laurent-Pade-Approximationen der Rückstreufunktion konstruieren und die Pole dieser rationalen Approximationen zur numerischen Lokalisierung der Einschlüsse heranziehen. Da dies letztlich einer numerischen Fortsetzung einer holomorphen Funktion gleich kommt, ist dieser Ansatz besonders fehleranfällig und muss entsprechend durch Regularisierungsansätze stabilisert werden. Selbst dann sind bei diesem Verfahren nur sehr geringe Datenfehler tolerierbar, wohingegen die anderen beiden Verfahren relativ robust gegen Datenfehler sind.

Publications

• Convex source support and its application to electric impedance tomography. SIAM J. Imaging Sci., 1:364–378, 2008
  M. Hanke, N. Hyvönen, and S. Reusswig
  
• Source supports in electrostatics. BIT 48:245–264, 2008
  M. Hanke, N. Hyvönen, M. Lehn, and S. Reusswig
  
• An inverse backscatter problem for electric impedance tomography. SIAM J. Math. Anal., 41:1948–1966, 2009
  M. Hanke, N. Hyvönen, and S. Reusswig
  
• Convex backscattering support in electric impedance tomography. Numer. Math., 117:373–396, 2011
  M. Hanke, N. Hyvönen, and S. Reusswig
  
• Erratum: An inverse backscatter problem for electric impedance tomography. SIAM J. Math. Anal., 43:1495–1497, 2011
  M. Hanke, N. Hyvönen, and S. Reusswig
  
• Justification of point electrode models in electrical impedance tomography. Math. Models Methods Appl. Sci. 21:1395–1413, 2011
  M. Hanke, B. Harrach, and N. Hyvönen
  
• Locating several small inclusions in impedance tomography from backscatter data. SIAM J. Numer. Anal., 49:1991–2016, 2011
  M. Hanke
  
• Reconstructions from backscatter data in electric impedance tomography. Inverse Problems, 27:045007, 2011
  S. Hollborn
  
• Ein inverses Rückstreuproblem der elektrischen Impedanztomographie. Dissertation, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 2012
  S. Hollborn