Étaler Homotopietyp arithmetischer Schemata

• Applicant: Professor Dr. Alexander Schmidt
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2013 to 2021
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 221264088

Neben der gewöhnlichen étalen Fundamentalgruppe spielt die zahme Fundamentalgruppe [KS10] in vielen Zusammenhängen eine wichtige Rolle. Es wäre hilfreich, wenn sie als Fundamentalgruppe eines lokal-zusammenhängenden Situs nach [AM] interpretiert werden könnte. Ein zahmer Situs würde auch zahme Kohomologie- und Homotopiegruppen in allen Dimensionen liefern. Ein solcher soll definiert und seine Eigenschaften untersucht werden.Für offene Teilmengen des Spektrums eines Ganzheitsrings über einem Zahlkörper verschwinden die höheren étalen Homotopiegruppen der p-Komplettierung 'oft', [S10]; insbesondere hat jeder Punkt eine asphärische Umgebungsbasis. In den verbleibenden Fällen hofft man, dass die höheren Homotopiegruppen in geeignetem Sinne klein sind. Dies soll präzisiert werden. Der étale topologische Typ Xet (ein Pro-Raum) eines lokal noetherschen Schemas X wurde durch Artin/Mazur und Friedlander [AM, Fr] eingeführt und für komplexe Varietäten mit der assoziierten komplexen Mannigfaltigkeit verglichen. Anabelsche Geometrie beschreibt Geometrie und Arithmetik 'anabelscher' Varietäten anhand ihrer étalen Fundamentalgruppe. Die Kernfrage ist es, welche Varietäten anabelsch sind. Die bislang als anabelsch verifizierten Varietäten sind sämtlich asphärisch. Im allgemeinen Fall ist es nicht zu erwarten, dass die Fundamentalgruppe et 1 (X) selbst ausreichend Information über X enthält: man sollte den gesamten étalen topologischen Typ Xet bis auf Homotopie relativ ket betrachten. In der ersten Antragsperiode wurde hier Grundlagenarbeit geleistet, die nun weiter vertieft werden soll. Schließlich interessiert der Zusammenhang zur A1-Homotopiekategorie von Morel-Voevodsky.

• DFG Programme: Research Units
• Subproject of: FOR 1920: Symmetry, Geometry and Arithmetic
• Cooperation Partner: Professor Dr. Jakob Stix