Analytische Geometrie und algebraische Geometrie reduktiver Gruppen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Annette Werner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 237910448

Das Projekt "Analytische Geometrie und algebraische Geometrie reduktiver Gruppen" hat zum Ziel, in neuer Weise analytische Geometrie zum Lösen algebraischer Probleme zu einzusetzen. Neu an diesem Ansatz ist die Verwendung von analytischer Geometrie über beliebigen Grundkörpern. Diese werden mit dem trivialen Absolutbetrag versehen und so der von Berkovich entwickelten Theorie analytischer Räume zugänglich gemacht. Mit Hilfe dieser Theorie kann man jeder Varietät über dem gewählten Grundkörper einen analytischen Raum zuordnen. Dieser enthält wesentlich mehr Punkte als die geometrischen Punkte der Varietät und hat gute Zusammenhangseigenschaften. Eine der Grundlagen für dieses Projekt ist eine gemeinsame Arbeit der Antragstellerin mit Bertrand Rémy und Amaury Thuillier, in der die Automorphismengruppe von Drinfelds oberer Halbebene über einem endlichen Körper bestimmt wird. Drinfelds obere Halbebene über einem endlichen Körper ist die affine Varietät, die durch Entfernen aller rationalen Hyperebenen aus dem projektiven Raum ent-steht. Die Frage nach ihrer Automorphismengruppe ist ein Problem der birationalen Geometrie über einem endlichen Körper. Wir lösen es mit analytischer Geometrie, indem wir eine Teilmenge des zu-gehörigen Berkovichraums betrachten, die die Geometrie einer geeigneten Kompaktifizierung durch einen Divisor mit normalen Überkreuzungen widerspiegelt. Ziel des beantragten Projektes sind weitere Anwendungen analytischer Geometrie über endlichen und anderen trivial bewerteten Grundkörper auf die Theorie reduktiver Gruppen und ihrer homogenen Räume. Hier sollen Fortschritte in zwei Richtungen erzielt werden. Zum einen soll eine Theorie äqui-varianter Einbettungen vektorieller Gebäude in analytische Räume entwickelt werden. Zum anderen sollen Automorphismengruppen weiterer Varietäten über endlichen Körpern mit Hilfe analytischer Geometrie studiert werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen