Neue theoretische und algorithmische Ansätze in der Vektoroptimierung

• Antragsteller: Professor Dr. Gert Wanka
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 240627717

Das Gebiet der Vektoroptimierung ist ein sich in stetiger und fortschreitender Entwicklung befindliches relativ eigenständiges Teilgebiet der mathematischen Optimierungstheorie mit vielen theoretisch und praktisch relevanten Anwendungen. Prinzipiell geht es dabei um die Bestimmung minimaler (maximaler) Elemente gegebener Mengen, wobei die Minimalität in gewissem Sinne, meist basierend auf Halbordnungen (die mittels konvexer Kegel eingeführt werden können), definiert ist. Speziell können die Mengen dabei die Bilder von mehrdimensionlen Zielfunktionen sein. Anschaulich interpretiert treten also mehrere Zielfunktionen auf. Als eine Anwendungsaufgabe sei beispielhaft die Optimierung eines Wertpapierportfolios erwähnt, wobei einerseits dessen erwartete Rendite zu maximieren und andererseits dessen Risiko zu minimieren ist. Es existieren verschiedene Lösungsbegriffe in der Vektoroptimierung, die sowohl aus theoretischen wie auch aus praktischen Erfordernissen bzw. Überlegungen abgeleitet wurden (beispielsweise (eigentlich) (schwach) effiziente Lösungen genannt). Neben theoretischen Untersuchungen interessieren auch numerische Verfahren und Algorithmen zur Bestimmung von Lösungen solcher Vektoroptimierungsprobleme.Mit diesem Projekt soll ein signifikanter Beitrag zur theoretischen Untersuchung von stetigen Vektoroptimierungsproblemen sowie deren numerischer Behandlung geleistet werden. Es sollen fünf Ziele in den Fokus der Untersuchungen treten. Zunächst wollen wir uns mit der Verallgemeinerung von Vektor-Lösungsbegriffen befassen, speziell, wenn die auftretenden Halbordnungskegel keine topologisch inneren Punkte besitzen, wie es auch bei vielen Anwendungen der Fall ist (z.B. Positivitätskegel in Lp-Räumen, p>=1, reell). Dabei werden wir uns auch auf bereits vorliegende eigene Forschungsresultate zu verallgemeinerten Innere-Punkt-Begriffen stützen. Das zweite Ziel widmet sich nichtglatten Vektoroptimierungsproblemen hinsichtlich der Charakterisierung von Lösungen durch Optimalitätsbedingungen auf der Basis von existierenden aber auch gegebenenfalls neu zu schaffenden verallgemeinerten Subdifferenzierbarkeits-Begriffen, welche die Differenzierbarkeit im Falle glatter Probleme ersetzen. Ein weiteres Ziel besteht in der Betrachtung von im vektoriellen Sinne quasikonvexen Mehrzieloptimierungsaufgaben, wo untersucht werden soll, inwieweit Ergebnisse zu konvexen Vektoroptimierungsproblemen auf eine solche Klasse verallgemeinert-konvexer Probleme erweitert werden können. Die letzten beiden Ziele befassen sich mit Algorithmen und deren theoretischer Fundierung zur Lösung von nichtglatten Vektoroptimierungsproblemen, wobei der Fokus auf Glättungs- sowie Splitting Verfahren liegt. Das Projekt wurde mit der Unterstützung von Professor Radu Bot, Universität Wien, beantragt. Es wird in enger Kooperation mit ihm durchgeführt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen