Convexity in real algebraic geometry
Final Report Abstract
Die Konvexgeometrie befasst sich mit konvexen Körpern wie Polyedern (Würfel, Tetraeder, Oktaeder usw.) Kugeln, Ellipsoiden, Kegeln usw. Die reelle algebraische Geometrie handelt dagegen von geometrischen Objekten, die durch algebraische Gleichungen und Ungleichungen beschrieben werden, wozu insbesondere auch die genannten konvexen Körper und ihre Oberflächen gehören. Andererseits ist Konvexität eine Eigenschaft, die sich aus verschiedenen Gründen nicht so leicht mit Methoden der Algebra untersuchen lässt. Die Konvexe Algebraische Geometrie verbindet beide Welten mit neuen Methoden und neuen Fragen. (Zur Klarstellung für Experten: Die enge Beziehung zwischen torischer Geometrie und Gitterpolytopen, die schon länger breit untersucht wird, stellt eine andere solche Verbindung dar, die hier aber nicht gemeint ist.) Eine zentrale Rolle kommt dabei den Eigenwerten symmetrischer Matrizen zu. Grob gesagt hat jedes mathematische Objekt, das sich durch solche Matrizen beschreiben lässt, eine reelle Struktur, weil die Matrizen und ihre Eigenwerte reell sind, und eine konvexe Struktur, weil die positiv-semidefiniten Matrizen einen konvexen Kegel bilden. Solche Beschreibungen haben sich auch in der konvexen und der kombinatorischen Optimierung als äußerst nützlich erwiesen. Gleichzeitig bieten Matrizen und ihre Determinanten einen Ansatzpunkt für Methoden aus der algebraischen Geometrie. In diesem Forschungsprojekt wurden verschiedene Arten von Darstellungssätzen untersucht, deren Ziel es ist, konvexe Körper durch symmetrische Matrizen zu beschreiben. Eine grundsätzliche Schwierigkeit besteht darin, die aus der Optimierung und ihren Anwendungen erwiesene Nützlichkeit solcher Beschreibungen in beweisbare Mathematik zu übersetzen. Hier sind zentrale Fragen, auch nach dem Projekt, offen geblieben bzw. haben sich in der vermuteten Allgemeinheit als falsch heraus gestellt. Die Ergebnisse, die im Projekt erzielt wurden, verbessern einerseits das algorithmische Verständnis für solche Darstellungen, zum Beispiel indem sie für zweidimensionale Gebilde konkret im Computer bestimmt werden können. Andererseits wurden auch neue Aspekte beleuchtet, insbesondere für Körper mit Symmetrien (unter Rotationen und Spiegelungen), deren Symmetrie auf die darstellenden Matrizen übetragen werden kann.
Publications
- (2016) Gram spectrahedra. Contemporary Mathematics, 697 (2017) 81-105
Chua, Lynn; Plaumann, Daniel; Sinn, Rainer; Vinzant, Cynthia
(See online at https://doi.org/10.1090/conm/697/14047) - (2018) Symbolic computation in hyperbolic programming. J. Algebra Appl. (Journal of Algebra and Its Applications) 17 (10) 1850192
Naldi, Simone; Plaumann, Daniel
(See online at https://doi.org/10.1142/S021949881850192X) - (2017) Determinantal representations of hyperbolic curves via polynomial homotopy continuation. In: Math. Comp. 86 (308) 2877–2888
Leykin, Anton; Plaumann, Daniel
(See online at https://doi.org/10.1090/mcom/3194) - Determinantal representations of invariant hyperbolic plane curves
K. Lentzos und L. Pasley
