Trigonometrische Approximation und Funktionenräume verallgemeinerter Glattheit

• Antragsteller: Professor Dr. Hans-Jürgen Schmeißer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 241673541

In den vergangenen Jahren wurde in einer Serie von gemeinsamen Arbeiten mit Dr. K. Runovski ein universeller Zugang zur Approximation von Funktionen aus periodischen Lebesgueräumen durch trigonometrische Polynome für alle p größer Null und kleiner unendlich entwickelt. Dieser beruht auf der Einführung von Familien linearer polynomialer Operatoren und deren Verwendung als konstruktive Approximationsmethode. Die bekannten klassischen Approximationsprozesse sind als Spezialfälle enthalten. Unser Hauptresultat ist ein allgemeiner Satz über die Äquivalenz von Approximationsfehler in einer geeigneten (Quasi-) Metrik, polynomialem K-Funktional, erzeugt durch einen zugeordneten Differentialoperator, und einem verallgemeinerten Glattheitsmodul, erzeugt durch eine ebenfalls assoziierte periodische Funktion. Dabei zeigt es sich, dass die Äquivalenz von Approximationsfehler und Glattheitsmodul in der Regel ein dem Prozess angepasstes Glattheitsmodul erfordert. Durch Vorgabe des asymptotischen Verhaltens der allgemeinen Glattheitsmoduli werden Skalen von Funktionenräume vom Sobolev-Besov-Typ eingeführt, welche die klassischen Räume als Spezialfälle enthalten. Ziel des Forschungsvorhabens ist das Studium dieser Räume im Zusammenhang mit entsprechenden Approximationsprozessen.Untersucht werden das Saturationsverhalten für die Hauptobjekte unserer Theorie (Familien von linearen polynomialen Operatoren, K-Funktionale und allgemeine Glattheitsmoduli), die Charakterisierung der eingeführten Räume durch Approximationsmethoden, notwendige und hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit von stetigen und kompakten Einbettungen vom Sobolev Typ. Außerdem werden die von uns eingeführten Räume mit den bekannten Skalen verglichen. Die langjährige erfolgreiche Kooperation mit Dr. K. Runovski wurde mehrmals durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft sowie durch die A. v. Humboldt-Stiftung gefördert. Das hier beschriebene Vorhaben soll auch der Vorbereitung einer breiter angelegten Kooperation unserer Arbeitsgruppe mit Wissenschaftlern aus der Niederlassung der Moskauer Lomonosov-Universität in Sevastopol (Krim, Ukraine) zur Untersuchung von Oszillationen in mathematischen und physikalischen Fragestellungen dienen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen