Trigonometric aproximation and function spaces with generalized smoothness
Final Report Abstract
In dem Projekt wurden theoretische Grundlagen der trigonometrischen Approximation untersucht und neue Charakterisierungen von periodischen Besovräumen durch konstruktive Approximationsmethoden und allgemeine Glattheitsmoduli gefunden. Es ist gut bekannt, dass sich die Güte eines Approximationsprozesses und Glattheitseigenschaften einer Funktion einander bedingen. Jedoch sind der klassische Ableitungsbegriff und das klassische Stetigkeitsmodul (Differenzen einer gewissen Ordnung) nicht immer geeignet, um einen gegebenen Approximationsprozess adäquat zu beschreiben. In dieser Hinsicht konnten Fortschritte durch ein neues Konzept, die Einführung eines assoziierten verallgemeinerten Glattheitsmoduls, erzielt und offene Fragen gelöst werden. Als Brücke zwischen konstruktiver Approximationsmethode und Glattheit der zu approximierenden Funktion dienen dabei verallgemeinerte K-Funktionale, die auch für den Quasi-Banachraum Lp(Td) relevant sind und in natürlicher Beziehung sowohl zum Erzeuger der Approximationsmethode als auch zum Erzeuger des Glattheitsmoduls stehen. Dieser einheitliche Zugang zur trigonometrischen Approximation wurde weiter entwickelt und konnte auf eine Vielzahl von Approximationsprozessen angewendet werden. Im Rahmen von Promotionsverfahren wurden die Untersuchungen auf den nicht-periodischen Fall (Approximation durch bandbegrenzte Funktionen) und auf Anwendungen bei der numerischen Integration ausgedehnt. Schließlich konnten neue Charakterisierungen von periodischen Besovräumen Bp,q(Td) durch das quantitative Verhalten des Approximationsfehlers in der (Quasi)Metrik von Lp bei einem gegebenen Approximationsprozess bzw. durch das quantitative Verhalten von allgemeinen Glattheitsmoduli gegeben werden. Insbesondere wurde somit ein neuer Zugang zur Untersuchung von Besovräumen im Fall 0 ≤ s < d(1/p — 1)+ gefunden, wenn diese nicht mehr als Teilräume (regulärer) periodischer Distributionen aufgefasst werden können.
Publications
- General moduli of smoothness and approximation by families of linear polynomial operators. In: New Perspectives on Approximation and Sampling Theory (Festschrift in Honor of Paul Butzer’s 85th Birthday) Basel: Birkhäuser 2014, 269–298
K. Runovski, H.-J. Schmeisser
- Moduli of smoothness related to the Laplace-operator. J. Fourier Anal. Appl., Published online Dec 2014
K. Runovski, H.-J. Schmeisser
(See online at https://doi.org/10.1007/s00041-014-9373-y) - Moduli of smoothness related to the fractional Riesz derivative. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, 34 (2015), 109–125
K. Runovski, H.-J. Schmeisser
(See online at https://doi.org/10.4171/ZAA/1531)
