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Projekt
Mitteldimensionale Squeezing- und Non-Squeezing-Phänomene Hamiltonscher dynamischer Systeme in endlich- und unendlichdimensionalen Phasenräumen
Antragsteller
Professor Dr. Alberto Abbondandolo
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2013 bis 2018
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 242354134
Symplektomorphismen sind die natürlich auftretenden Transformationen in der Hamiltonschen Dyna-mik. Nach dem berühmten Non-Squeezing-Theorem von Gromov kann kein Symplektomorphismus eine Kugel mit Radius r in einen Zylinder abbilden, der in einer durch zwei konjugierte Variablen auf-gespannten Ebene den Radius s < r hat. Schon seit langem stellt man sich die Frage, ob dieses und andere daraus folgende zweidimensionale Starrheitsphänomene mitteldimensionale Entsprechungen haben. Vor einiger Zeit hat L. Guth Gegenbeispiele gefunden, welche zeigen, dass es für allgemeine Symplektomorphismen keine solchen mitteldimensionalen Starrheitsphänomene gibt. Nichtsdestotrotz weisen einige Resultate, die der Antragsteller gemeinsam mit einem Koautor vor Kurzem gezeigt hat, darauf hin, dass solche mitteldimensionalen Starrheitsphänomene in der lokalen Kategorie vorherr-schen, z. B. bei Symplektomorphismen, welche annähernd linear sind. Das erste Ziel des Projekts ist, diese Starrheitsphänomene dadurch zu untersuchen, dass wir präzisie-ren, was „annähernd linear'“ bedeutet und welcher Mechanismus diese Starrheit aufhebt, wenn wir uns weit von der linearen Kategorie entfernen. Dieses Ziel ist mit mehreren Fragestellungen verbunden und es scheint eng mit einer Vermutung Viterbos verwandt zu sein, welche das Volumen und die symplektische Kapazität konvexer Mengen über eine Ungleichung verbindet. Eine Untersuchung die-ser Vermutung ist ebenfalls Teil des Projekts. Das zweite Ziel des Projekts ist, derartige Starrheitsphänomene für Symplektomorphismen aus der klassischen Mechanik zu untersuchen. Das dritte und letzte Ziel des Projekts betrifft die Starrheit von Symplektomorphismen auf unendlich-dimensionalen Phasenräumen. Diese ist von Bedeutung, da sie ermöglicht, die Mechanismen zu ver-stehen, welche bei Flüssen nichtlinearer Hamiltonscher partieller Differentialgleichungen zu einer Energieübertragung auf hohe Frequenzen führen, wie etwa bei der nichtlinearen Wellengleichung und der nichtlinearen Schrödingergleichung. Dabei bleiben noch viele Fragen offen. Unter ihnen ist die Frage, ob das Gromovsche Non-Squeezing-Theorem auch für Symplektomorphismen auf unendlich- dimensionalen Hilbert Räumen gültig ist. Wir behaupten, dass dies nicht der Fall ist und planen die Konstruktion eines Gegenbeispiels. Ein weiteres Ziel ist, die Klasse der Symplektomorphismen, für die das Non-Squeezing-Theorem gilt, dadurch zu erweitern, dass wir einen Beweis entwickeln, bei dem die Unendlichdimensionalität intrinsisch ist. Schließlich beabsichtigen wir, die zu erwartenden Er-kenntnisse für endlich-dimensionale Phasenräume auf den Fall unendlichdimensionaler Phasenräume zu übertragen.
DFG-Verfahren
Sachbeihilfen
Internationaler Bezug
Frankreich, Israel, Italien, Schweiz
